Hola:
Buenas buenas, estaría necesitando ayuda sobre cómo empezar a demostrar la siguiente igualdad:
$$x(x-\pi)=\sum_{k=1}^{\infty}4\frac{(-1)^k-1}{\pi k^3}\text{sen}(kx)$$
Estuve viendo algunos videos de cómo determinar los coeficientes de Fourier y también la igualdad que se rige por
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(n\pi x\right)+b_n\text{sen}(n\pi x)\right]$$
Si me pueden tirar algunos tips y cosas que necesite ir verificando les agradecería!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Si partes de la función \( f(x)=x(x-\pi) \) definida en el intervalo \( [0,\pi] \) y la extiendes de forma impar a todo \( \mathbb{R} \) con período \( 2\pi \), los términos en coseno del desarrollo de Fourier serán nulos. Habría que verificar si los términos en seno coinciden con los de la expresión dada. Lo he hecho y coincide ..
Solo tienes que hallar los coeficientes \( b_k=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x(x-\pi)\sin kx\,dx=\\\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}x(x-\pi)\sin kx\,dx=\cdots=\\\dfrac{4(\cos kx -1)}{\pi k^3}=\dfrac{4}{\pi k^3}[(-1)^k-1] \)
Saludos
