[zorropardo]

Si $$A,B$$ son conjuntos  de numeros reales positivos. Definimos el conjunto $$AB=\{xy:  x \in A; y \in B  \}.$$ Probar que si $$A,B$$ son acotados entonces $$sup(AB)=sup(A).sup(B)$$

Por los axiomas del supremos sabemos que existen: $$sup(A)=a_{1}$$ y $$sup(B)=b_{1}.$$

Por definicion de supremo tenemos : $$sup(A)  \geq{x} ; \forall x \in A$$ y $$sup(B)  \geq{y} ; \forall y \in B.$$ Como $$x,y \geq 0 $$ entonces $$xy
  \textcolor{red}{\leq} sup(A) sup(B).$$

  Asi el conjunto  $$AB=\{xy :  x \in A; y \in B \}$$ es limitado superiormente.

Como $$a_{1}$$ y $$b_{1}$$ son las menores cotas superiores, dados $$\bar{a}$$ y $$\bar{b}$$  cotas superiores de $$A$$ y $$B$$ respectivamente,  tenemos que $$a_{1}  \leq \bar{a}$$ y  $$b_{1} \leq \bar{b}$$ luego $$a_{1}b_{1} \leq \bar{a} \bar{b}.$$ Asi $$a_{1}b_{1}$$ es la menor cota de $$AB.$$ Por tanto $$sup(AB)=a_{1}b_{1}=sup(A)sup(B).$$

Esta bien, o donde esta el error???

[ani_pascual]

Hola:

Si $$A,B$$ son conjuntos  de numeros reales positivos. Definimos el conjunto $$AB=\{xy:  x \in A; y \in B  \}.$$ Probar que si $$A,B$$ son acotados entonces $$sup(AB)=sup(A).sup(B)$$

Por los axiomas del supremos sabemos que existen: $$sup(A)=a_{1}$$ y $$sup(B)=b_{1}.$$

Por definicion de supremo tenemos : $$sup(A)  \geq{x} ; \forall x \in A$$ y $$sup(B)  \geq{y} ; \forall y \in B.$$ Como $$x,y \geq 0 $$ entonces $$xy \textcolor{red}{\geq} sup(A) sup(B).$$

  Asi el conjunto  $$AB=\{xy :  x \in A; y \in B \}$$ es limitado superiormente.

Como $$a_{1}$$ y $$b_{1}$$ son las menores cotas superiores, dados $$\bar{a}$$ y $$\bar{b}$$  cotas superiores de $$A$$ y $$B$$ respectivamente,  tenemos que $$a_{1}  \leq \bar{a}$$ y  $$b_{1} \leq \bar{b}$$ luego $$a_{1}b_{1} \leq \bar{a} \bar{b}.$$ Asi $$a_{1}b_{1}$$ es la menor cota de $$AB.$$ Por tanto $$sup(AB)=a_{1}b_{1}=sup(A)sup(B).$$

Esta bien, o donde esta el error???

Me parece que hay una errata. La segunda parte no la veo clara, pues no partes de una cota superior arbitraria de \( AB \) sino de cotas superiores de \(  A \) y de \( B \). 
Añadido
Una vez probado que \( \sup(AB)\leq \sup(A)\sup(B) \), se puede concluir así:

Spoiler

Si fuera \( \sup(AB)< \sup(A)\sup(B) \), entonces \( \dfrac{\sup(AB)}{\sup(B)}< \sup(A) \), luego existe \( a\in A  \) tal que \( \dfrac{\sup(AB)}{\sup(B)}<a\Longrightarrow \sup(AB)< a\sup(B) \). A su vez, eso implica que \( \dfrac{\sup(AB)}{a}< \sup(B) \), luego existe \( b\in B  \) tal que \( \dfrac{\sup(AB)}{a}< b \), de donde \( \sup(AB)< ab\leq \sup(AB) \), lo cual es absurdo. En definitiva, \( \sup(AB)=\sup(A)\sup(B) \)

[cerrar]

Saludos

[david__bernal]

Dados dos conjuntos \( A,B \subset \mathbb{R}^+ \), acotados superiormente. 
Se define el conjunto \( AB = \{xy \mid x \in A,\, y \in B\}. \)
Sean los supremos de \( A,B \) los reales \( a,b \). 
Si \( x \in A \) e \( y \in B \), entonces \( a \ge x \), \( b \ge y \), luego \( ab \ge xy \). 

Por lo tanto, \( AB \) está acotado. 
Entonces basta mostrar que cualquier cota superior \( c \) cumple que \( c \ge ab \). 

Si \( ab > c \), entonces \( a > b^{-1}c \); luego \( b^{-1}c \) no puede ser una cota de \( A \). 

Por lo tanto, \( b^{-1}c < x \) para algún elemento \( x \in A \), 

 luego \( \displaystyle\frac{c}{x} < b \),
 usando como antes que \( \displaystyle\frac{c}{x} \) no es una cota de \( B \), tenemos que
 \( \displaystyle\frac{c}{x} < y \),
 donde \( y \in B \), luego c < xy

gracias por la correccion Guli-Guli, y a ani_pascual

[zorropardo]

Gracias por las respuesta, ya lo modifique (lo puse con rojo).

[Guli-Guli]

Entonces basta mostrar que cualquier cota superior c cumple que \( c \geq ab \).

Si \( ab > c \), entonces \( a > b^{-1}c \); luego \( b^{-1}c \) no puede ser una cota de \( A \). 

Por lo tanto, \( b^{-1}c < x \) para algún elemento \( x \in A \), y así \( c < xb <= ab. \)

Pero aquí no completaste la demostración, pues quieres ver que \( ab > c \) es absurdo y acabas llegando al mismo punto.

Una forma de terminar con tu demostración sería seguir la idea que propuso ani_pascual en el spoiler.

[david__bernal]

Sip, tenes razon.
Mis disculpas.

[zorropardo]

Sea $$b_{1}=sup(A) \Rightarrow{ b_{1} \geq{x} ; \quad  \forall x \in A}$$.....(1)


y $$b_{2}=sup(B)  \Rightarrow{ b_{2} \geq{y} ; \quad   \forall y \in B}$$.....(2)   

De (1) y (2) tenemos $$xy \leq b_{1}b_{2}. \forall xy \in AB.$$ Luego $$b_1 b_{2}$$ es cota superior del conjunto $$AB$$

Por otro lado , si $$b_1=sup(A)$$ entonces $$b_1$$ es la menor de las cotas superiores de $$A$$ esto es dado $$c_1 \in \mathbb{R}$$ tal que $$\textcolor{red}{b_1>c_1},$$ existe $$x \in A $$ tal que $$c_1<x \leq b_1.$$ ......(3)

Analogamente,  si $$b_2=sup(B)$$ entonces $$b_2$$ es la menor de las cotas superiores de $$B$$ esto es dado $$c_2 \in \mathbb{R}$$ tal que $$\textcolor{red}{b_2>c_2}$$ existe $$y \in B $$ tal que $$c_2<y \leq b_2.$$ ......(4)

Asi de (3) y (4), tenemos que dado $$c_1 c_2 \in  \mathbb{R}$$ tal que $$b_1 b_2>c_1 c_2$$ existe $$xy \in AB$$ tal que $$c_1 c_2 <xy \leq b_1 b_2.$$

Luego $$b_1 b_2$$ es la menor de las cotas superiores del conjunto $$AB$$ osea $$b_1 b_2=sup(AB)$$


Por tanto $$sup(A)sup(B)=sup(AB.)$$ Esta bien , o donde esta el error 

[david__bernal]

Lo que pasa es que estás planteando erróneamente que \( b_1 \) es el supremo de \( A \).
\( b_1 \) es el supremo de \( A \) si es menor o igual que cualquier cota (Superior) de de \( A \).
Lo mismo para el otro.

Capaz queriás decir dado un c en los reales tal que \( b_1 > c. \)
Si lo planteas así entonces te queda bien 3), 4).
En lo último solo estas repitiendo 3), 4)
Podrias terminarlo con lo de ani_pascual, así lo termine.

[delmar]

Hola

Sea $$b_{1}=sup(A) \Rightarrow{ b_{1} \geq{x} ; \quad  \forall x \in A}$$.....(1)


y $$b_{2}=sup(B)  \Rightarrow{ b_{2} \geq{y} ; \quad   \forall y \in B}$$.....(2)   

De (1) y (2) tenemos $$xy \leq b_{1}b_{2}. \forall xy \in AB.$$ Luego $$b_1 b_{2}$$ es cota superior del conjunto $$AB$$

Por otro lado , si $$b_1=sup(A)$$ entonces $$b_1$$ es la menor de las cotas superiores de $$A$$ esto es dado $$c_1 \in \mathbb{R}$$ tal que $$c_1>b_1,$$ existe $$x \in A $$ tal que $$c_1<x \leq b_1.$$ ......(3)

Analogamente,  si $$b_2=sup(B)$$ entonces $$b_2$$ es la menor de las cotas superiores de $$B$$ esto es dado $$c_2 \in \mathbb{R}$$ tal que $$c_2>b_2,$$ existe $$y \in B $$ tal que $$c_2<y \leq b_2.$$ ......(4)

 
Asi de (3) y (4), tenemos que dado $$c_1 c_2 \in  \mathbb{R}$$ tal que $$b_1 b_2>c_1 c_2$$ existe $$xy \in AB$$ tal que $$c_1 c_2 <xy \leq b_1 b_2.$$

Luego $$b_1 b_2$$ es la menor de las cotas superiores del conjunto $$AB$$ osea $$b_1 b_2=sup(AB)$$


Por tanto $$sup(A)sup(B)=sup(AB.)$$ Esta bien , o donde esta el error 

La idea la vislumbro correcta; pero lo marcado en rojo es incorrecto, si \( b_1 \) es la menor de las cotas superiores de A, entonces no existe un número real  menor a \( b_1 \) que sea cota superior de A. Esto implica que \( \forall{c_1}<b_1\Rightarrow{\exists{x}\in{A } \ / \ c_1<x\leq{b_1}} \). De manera semejante se llega a que \( \forall{c_2}<b_2\Rightarrow{\exists{y}\in{B } \ / \ c_2<y\leq{b_2}} \). En este punto siguiendo la idea se ha de demostrar que \( \forall{c}<b_1b_2, \ \ \exists{c_1}<b_1 \wedge c_2<b_2 \ / \ c=c_1c_2 \) se puede demostrar.



Saludos

[zorropardo]

Hola, fue error de digitación. Ya lo corregí.