Hola
Bienvenido al foro.
Recuerda leer y seguir las
reglas del mismo así como el
tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Cualidad de los números perfectos pares que hacen la imposibilidad de hallar un número perfecto impar.
Factor de reducción a común divisor igual a 4.
Cuyo resultado arroja un numero primo igual a la cantidad de sumas consecutivas que se necesitan para obtener dicho numero perfecto.
Ejemplo:
28= 28÷4=7
1+2+3+4+5+6+7=28
496= 496÷4÷4=31
1+2+3+4...+31=496
8128= 8128÷4÷4÷4=127
1+2+3+4...127=8128
33550336= 33550336÷4÷4÷4÷4÷4÷4=8191
1+2+3+4..8191=33550336
Hago público este pensamiento en la búsqueda de ayuda pues carezco de medios para comprobar el mismo proceso en todo el conjunto de números perfectos para saber si se vuelve criterio en todos estos números y poder cotejarlo con un candidato a numero perfecto como posible.
Lo que apuntas es un hecho conocido. Está demostrado (véase el
Teorema de Euclides-Euler) que todo número perfecto par es de la forma:
\( 2^{p-1}(2^p-1) \) siendo \( 2^p-1 \) primo (un
primo de Mersenne de hecho)
Esto supone que \( p \) es primo y así para \( p>2 \) impar y \( p-1 \) par; por tanto \( 2^{p-1}=4^{(p-1)/2} \), de manera que un número perfecto par \( N \) cumple:
\( N=2^{p-1}(2^p-1)=4^{(p-1)/2}\cdot (\underbrace{2^p-1}_m) \)
y
\( 1+2+\ldots+m=\dfrac{m(m+1)}{2}=\dfrac{(2^p-1)2^p}{2}=2^{p-1}(2^p-1)=N \)
Para \( p=3,5,7,13 \) se obtienen los cuatro ejemplos que has puesto.
Otra consecuencia del
Teorema de Euclides-Euler es que todo número perfecto par se obtiene a partir de un primo de Mersenne; por tanto la existencia (o no) de infinitos números perfectos equivale a la existencia (o no) de infinitos primos de Mersenne.
Actualmente se conocen \( 52 \) primos de Mersenne y por tanto \( 52 \) números perfectos pares.
Saludos.
