[Wursen]

Hola,

Sea \( T : R^3 \rightarrow{} R^3 \) la transformación lineal dada por \( T(x_{1};x_{2};x_{3}) = (3x_{1}+x_{3};x_{1}+x_{2};-x_{1}) \) . Definir, si es posible, una transformación lineal \(  T_{1} : R^3 \rightarrow{} R^3  \) tal que \( T(T_{1}(0,2,1))=(-1,1,3); \)    \( T_{1}(0,1,0) \) y \( N_{u}(T_{1})\neq {0} \)

Bueno lo pensé así, si tendría las bases entonces por el teorema fundamental la transformación lineal existe y es única. Lo que me desconcierta es que tengo dos bases no tres y me dice que el nucleo de \( T_{1} \) tiene que ser distinto de cero, pero si el núcleo son el conjunto de imágenes con el vector nulo.

En fin, ¿Cómo lo resuelvo?

Gracias, saludos.

[Masacroso]

Pista: lo primero que tienes que hacer es verificar que \( (-1,1,3)\in \operatorname{img}T \), luego puedes razonar que además de ser condición necesaria también es suficiente.

Por ser más específico, y suponiendo que \( (-1,1,3)\in \operatorname{img}T \), toma un \( (a,b,c)\in \mathbb{R}^3 \) tal que \( T(a,b,c)=(-1,1,3) \), luego sólo necesitas verificar que siempre puedes definir una función lineal \( T_1 \) tal que \( T_1(0,2,1)=(a,b,c) \), que \( T_1(0,1,0)\neq (0,0,0) \) y que sin embargo exista algún \( (u,v,w)\in \mathbb{R}^3\setminus \{(0,0,0)\} \) tal que \( T_1(u,v,w)=0 \).

[ani_pascual]

Hola:

...
Definir, si es posible, una transformación lineal \(  T_{1} : R^3 \rightarrow{} R^3  \) tal que \( T(T_{1}(0,2,1))=(-1,1,3); \)    \( T_{1}(0,1,0) \)
 y \( N_{u}(T_{1})\neq {0} \)
...

¿No falta algo en la condición \( T_1(0,1,0) \)? 
Saludos

[Masacroso]

Hola:

...
Definir, si es posible, una transformación lineal \(  T_{1} : R^3 \rightarrow{} R^3  \) tal que \( T(T_{1}(0,2,1))=(-1,1,3); \)    \( T_{1}(0,1,0) \)
 y \( N_{u}(T_{1})\neq {0} \)
...

¿No falta algo en la condición \( T_1(0,1,0) \)? 
Saludos

Yo he entendido, aunque no está bien escrito, que Wursen ha querido decir que tanto \( T_1(0,1,0) \) como \( \operatorname{Nu}(T_1) \) deben ser distintos de cero. Ya nos confirmará él si es así o no.

[ani_pascual]

Hola:

...

En fin, ¿Cómo lo resuelvo?
...

Tal y como dice Masacroso se ve que \( T(-3,4,8)=(-1,1,3) \), luego puedes definir \( T_1 \) de tal manera que sea \( T_1(0,2,1)=(-3,4,8), T_1(0,1,0)\neq (0,0,0) \) y finalmente, puedes definir la imagen nula de un vector que forme base con \( (0,2,1) \) y \( (0,1,0)  \), por ejemplo, \( T_1(1,0,0)=(0,0,0) \)

...
Yo he entendido, aunque no está bien escrito, que Wursen ha querido decir que tanto \( T_1(0,1,0) \) como \( \operatorname{Nu}(T_1) \) deben ser distintos de cero. Ya nos confirmará él si es así o no.

¡Cierto! Ahora que lo releo, veo que tiene sentido lo que comentas.   
Saludos