[zorropardo]

Si $$A,B \subseteq{\mathbb{R}}$$ no vacios y acotados inferiormente y $$A+B=\{ a+b; a \in A ; b \in B\}.$$ Probar $$inf(A+B)=inf(A)+inf(B).$$


Sea $$a_{1}=inf(A)$$ y $$a_{2}=inf(B) \Rightarrow{  a_{1} \leq{x} ; \quad  \forall x \in A    \mbox{ y }  a_{2} \leq{ y} ; \quad  \forall y \in B }. $$ Asi tenemos :

$$ a_{1}+a_{2} \leq{ x+y } ; \quad \forall (x+y) \in A+B.$$ Luego $$a_{1}+a_{2}$$ es cota inferior de $$A+B.$$

Por otro lado :

Si $$a_{1}=inf(A)$$ entonces dado $$d_{1} \in \mathbb{R}$$ tal que $$d_{1}>a_{1}$$ entonces existe $$x \in A \quad  / \quad     a_{1} \leq{x} <d_{1}   ...(I)$$

Si $$a_{2}=inf(B)$$ entonces dado $$d_{2} \in \mathbb{R}$$ tal que $$d_{2}>a_{2}$$ entonces existe $$y \in B \quad  / \quad     a_{2} \leq{y} <d_{2} ....(II)  $$

De (I) y (II) como $$d_{1}+d_{2} \in \mathbb{R}$$ y $$d_{1}+d_{2}>a_{1}+a_{2}$$ y $$a_{1}+a_{2} \leq{x+y} < d_{1}+d_{2},$$ asi

$$(a_{1}+a_{2})$$ es la mayor de las cotas inferiores de $$A+B.$$ Por tanto $$inf(A+B)=inf(A)+inf(B).$$

¿Está bien ?

[ani_pascual]

Hola:

Si $$A,B \subseteq{\mathbb{R}}$$ no vacios y acotados inferiormente y $$A+B=\{ a+b; a \in A ; b \in B\}.$$ Probar $$inf(A+B)=inf(A)+inf(B).$$


Sea $$a_{1}=inf(A)$$ y $$a_{2}=inf(B) \Rightarrow{  a_{1} \leq{x} ; \quad  \forall x \in A    \mbox{ y }  a_{2} \leq{ y} ; \quad  \forall y \in B }. $$ Asi tenemos :

$$ a_{1}+a_{2} \leq{ x+y } ; \quad \forall (x+y) \in A+B.$$ Luego $$a_{1}+a_{2}$$ es cota inferior de $$A+B.$$

Por otro lado :

Si $$a_{1}=inf(A)$$ entonces dado $$d_{1} \in \mathbb{R}$$ tal que $$d_{1}>a_{1}$$ entonces existe $$x \in A \quad  / \quad     a_{1} \leq{x} <d_{1}   ...(I)$$


Si $$a_{2}=inf(B)$$ entonces dado $$d_{2} \in \mathbb{R}$$ tal que $$d_{2}>a_{2}$$ entonces existe $$y \in B \quad  / \quad     a_{2} \leq{y} <d_{2} ....(II)  $$


De (I) y (II) como $$d_{1}+d_{2} \in \mathbb{R}$$ y $$d_{1}+d_{2}>a_{1}+a_{2}$$ y $$a_{1}+a_{2} \leq{x+y} < d_{1}+d_{2},$$ asi

$$(a_{1}+a_{2})$$ es la mayor de las cotas inferiores de $$A+B.$$ Por tanto $$inf(A+B)=inf(A)+inf(B).$$


Esta bien ??

Con la primera parte demuestras que \( inf(A)+inf(B) \) es una cota inferior de \( A+B \), luego ya tienes que \( inf(A)+inf(B)\leq inf(A+B) \). La segunda parte no la termino de ver clara. 
Se puede probar así:
Sea \(  b\in B \) arbitrario y fijo. Entonces \( inf(A+B)\leq a+b, \forall\,a\in A\Longleftrightarrow \\inf(A+B)-b\leq a,\,\forall\,a\in A\Longrightarrow inf(A+B)-b\leq inf(A)\Longleftrightarrow \\inf(A+B)-inf(A)\leq b \)
 luego como es \( b \) arbitrario, \( inf(A+B)-inf(A)\leq inf(B) \) de donde \( inf(A+B)\leq inf(A)+inf(B) \)  que junto a la otra desigualdad prueban la igualdad.
Saludos

[zorropardo]

Hola, en la segunda parte que hice, donde estaria el error de mi  razonamiento  .

[delmar]

Hola

Hola:

Si $$A,B \subseteq{\mathbb{R}}$$ no vacios y acotados inferiormente y $$A+B=\{ a+b; a \in A ; b \in B\}.$$ Probar $$inf(A+B)=inf(A)+inf(B).$$


Sea $$a_{1}=inf(A)$$ y $$a_{2}=inf(B) \Rightarrow{  a_{1} \leq{x} ; \quad  \forall x \in A    \mbox{ y }  a_{2} \leq{ y} ; \quad  \forall y \in B }. $$ Asi tenemos :

$$ a_{1}+a_{2} \leq{ x+y } ; \quad \forall (x+y) \in A+B.$$ Luego $$a_{1}+a_{2}$$ es cota inferior de $$A+B.$$

Por otro lado :

Si $$a_{1}=inf(A)$$ entonces dado $$d_{1} \in \mathbb{R}$$ tal que $$d_{1}>a_{1}$$ entonces existe $$x \in A \quad  / \quad     a_{1} \leq{x} <d_{1}   ...(I)$$


Si $$a_{2}=inf(B)$$ entonces dado $$d_{2} \in \mathbb{R}$$ tal que $$d_{2}>a_{2}$$ entonces existe $$y \in B \quad  / \quad     a_{2} \leq{y} <d_{2} ....(II)  $$


De (I) y (II) como $$d_{1}+d_{2} \in \mathbb{R}$$ y $$d_{1}+d_{2}>a_{1}+a_{2}$$ y $$a_{1}+a_{2} \leq{x+y} < d_{1}+d_{2},$$ asi

$$(a_{1}+a_{2})$$ es la mayor de las cotas inferiores de $$A+B.$$ Por tanto $$inf(A+B)=inf(A)+inf(B).$$


Esta bien ??

Con la primera parte demuestras que \( inf(A)+inf(B) \) es una cota inferior de \( A+B \), luego ya tienes que \( inf(A)+inf(B)\leq inf(A+B) \). La segunda parte no la termino de ver clara. 
Se puede probar así:
Sea \(  b\in B \) arbitrario y fijo. Entonces \( inf(A+B)\leq a+b, \forall\,a\in A\Longleftrightarrow \\inf(A+B)-b\leq a,\,\forall\,a\in A\Longrightarrow inf(A+B)-b\leq inf(A)\Longleftrightarrow \\inf(A+B)-inf(A)\leq b \)
 luego como es \( b \) arbitrario, \( inf(A+B)-inf(A)\leq inf(B) \) de donde \( inf(A+B)\leq inf(A)+inf(B) \)  que junto a la otra desigualdad prueban la igualdad.
Saludos

Yo la veo bien, explicar un poco, \( \forall{d}\in{R} \ / \ d>a_1+a_2, \ \exists{d_1 \wedge d_2} \ / \ d=d_1+d_2 \) considerando esto, se tiene que  \( \forall{d}\in{R}, \ / \ d>a_1+a_2, \ \ \exists{x+y}\in{A+B} \ / \ x+y<d \) en consecuencia, ningún d es cota inferior de A+B luego \( a_1+a_2=inf (A+B) \)


Saludos

Nota :
La demostración de ani_pascual también es correcta.

[Guli-Guli]

¿Está bien?

Sí, está bien. De todas formas, ani_pascual te dio otra demostración usando la propiedad antisimétrica de \( \leq \), por si te interesa.

La segunda parte no la termino de ver clara. 

A ver, zorropardo usa la definición de ínfimo de un subconjunto de \( \mathbb{R} \): su mayor cota inferior. Para ello, primero prueba que \( \inf(A) + \inf(B) \) es una cota inferior de \( A + B \), y después prueba que es la más grande que se pueda tomar, la que tú llamas "segunda parte".

[ani_pascual]

Hola:

..., en la segunda parte que hice, ¿dónde estaría el error de mi  razonamiento?  .

Con la aclaración que ha hecho delmar, ya veo que lo que has hecho es correcto. 

...
Yo la veo bien, explicar un poco, \( \forall{d}\in{R} \ / \ d>a_1+a_2, \ \exists{d_1 \wedge d_2} \ / \ d=d_1+d_2 \) considerando esto, se tiene que  \( \forall{d}\in{R}, \ / \ d>a_1+a_2, \ \ \exists{x+y}\in{A+B} \ / \ x+y<d \) en consecuencia, ningún d es cota inferior de A+B luego \( a_1+a_2=inf (A+B) \)
...

Sí, ahora lo veo; gracias por la aclaración delmar; quizás habría que especificar que esos \( d_1,d_2\in\mathbb{R} \) tales que \( d=d_1+d_2 \), cumplen que \( d_1>a_1, d_2>a_2 \), lo cual se puede asegurar ya que se parte de un real arbitrario \( d>a_1+a_2 \) (basta con elegir \( d_1=a_1+\dfrac{d-(a_1+a_2)}{2},d_2=a_2+\dfrac{d-(a_1+a_2)}{2} \)) y ahora sí, por la condición de \( a_1 \) y de \( a_2 \), existen \( x\in A,y\in B \) tales que \( a_1\leq x<d_1,a_2\leq y<d_2 \) y se concluye... 

...
A ver, zorropardo usa la definición de ínfimo de un subconjunto de \( \mathbb{R} \): su mayor cota inferior. Para ello, primero prueba que \( \inf(A) + \inf(B) \) es una cota inferior de \( A + B \), y después prueba que es la más grande que se pueda tomar, la que tú llamas "segunda parte".

Sí, ya he entendido. Con la aclaración de delmar ya lo he visto más claro. Gracias. 
Saludos