[Mario González]

Buenas tardes. Agradecería si alguien puede echarme una mano con el siguiente problema:

Los lados \( AB \) y CD de un cuadrilátero convexo \( ABCD \) se dividen cada uno en tres segmentos de la misma longitud, \( AE = EF = FB, \) y también \( DP = PQ = QC \). Las diagonales del cuadrilátero \( AEPD \) se cortan en el punto \( M \) y las de \( FBCQ \) se cortan en el punto \( N \). Las áreas de los triángulos \( AMD, EMP \) y \(  FNQ \) son \( 154, 112 \) y \( 99 \), respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo \( BCN \)? (Adjunto la figura del problema propuesto)



Gracias de antemano y un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

Los lados \( AB \) y CD de un cuadrilátero convexo \( ABCD \) se dividen cada uno en tres segmentos de la misma longitud, \( AE = EF = FB, \) y también \( DP = PQ = QC \). Las diagonales del cuadrilátero \( AEPD \) se cortan en el punto \( M \) y las de \( FBCQ \) se cortan en el punto \( N \). Las áreas de los triángulos \( AMD, EMP \) y \(  FNQ \) son \( 154, 112 \) y \( 99 \), respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo \( BCN \)? (Adjunto la figura del problema propuesto)

Spoiler

 Si llamamos \( DP=PQ=QC=a \) se tiene que:

\( area(DAP)=a\cdot AG/2 \)
\( area(DEP)=a\cdot EJ/2 \)
\( area(QFC)=a\cdot FK/2 \)
\( area(QBC)=a\cdot BL/2 \)

 Ahora como las cuatro alturas \( AG;EJ;FK;BL \) parten de los puntos \( A,E,F,G \) equiespaciados y perpendicularmente a la recta \( DC \) por el teorema de Tales, las alturas están el progresión aritmética y por tanto las áreas también. De donde:

\( area(DAP)-area(DEP)=area(QFC)-area(QBC) \)

 Pero:

 \( area(DAO)-area(DEP)=area(AMD)+area(DMP)-(area(DMP)+area(EMP))=area(AMD)-area(EMP) \)
 \( area(QFC)-area(QBC)=area(QFN)+area(QNC)-(area(QNC)+area(BNC))=area(QFN)-area(BNC) \)

y por tanto:

\( area(AMD)-area(EMP)=area(QFN)-area(BNC) \)

\( 154-112=99-area(BNC) \)

\( area(BNC)=99+112-154=57 \)

[cerrar]

Saludos.

[Mario González]

Muchas gracias! Creo que no lo habría sacado nunca...
Saludos!