[Quema]

Si \( X_i \) toma dos valores \( 1\leq{}x_i\leq{}1+n \) y 0 con probabilidades \( 1/x_i \) y \( 1-1/x_i \) respectivamente. Sea \( S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}X_i \) y \( P(S_n<1+n) \). Si todos los \( x_i\in [\displaystyle\frac{n+1}{2},1+n) \) entonces puede probarse que

\[
\mathbf{P}(X_1 + X_2 + \dots + X_n < 1 + n)\geq \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n-1} \cdot \frac{3n-1}{n+1},
\]
no?

Ahora, si todos los  \( x_i\in [1,\frac{n+1}{2}) \) entonces, dado \( c=\frac{n+1}{2} \) y sabiend oque la función de distribución es creciente,

\( \mathbf{P}(X_1 + X_2 + \dots + X_n < 1 + n)=\mathbf{P}(c(X_1 + X_2 + \dots + X_n) < (1 + n)c)\geq \mathbf{P}(cX_1 + cX_2 + \dots + cX_n < 1 + n) \) y como ahora \( cx_i \in[\frac{n+1}{2},n+1) \) y puedo aplicar el resultado anterior, puede ser?

[Luis Fuentes]

Hola

Si \( X_i \) toma dos valores \( 1\leq{}x_i\leq{}1+n \) y 0 con probabilidades \( 1/x_i \) y \( 1-1/x_i \) respectivamente. Sea \( S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}X_i \) y \( P(S_n<1+n) \). Si todos los \( x_i\in [\displaystyle\frac{n+1}{2},1+n) \) entonces puede probarse que

\[
\mathbf{P}(X_1 + X_2 + \dots + X_n < 1 + n)\geq \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n-1} \cdot \frac{3n-1}{n+1},
\]
no?

Ahora, si todos los  \( x_i\in [1,\frac{n+1}{2}) \) entonces, dado \( c=\frac{n+1}{2} \) y sabiend oque la función de distribución es creciente,

\( \mathbf{P}(X_1 + X_2 + \dots + X_n < 1 + n)=\mathbf{P}(c(X_1 + X_2 + \dots + X_n) < (1 + n)c)\geq \mathbf{P}(cX_1 + cX_2 + \dots + cX_n < 1 + n) \) y como ahora \( cx_i \in[\frac{n+1}{2},n+1) \) y puedo aplicar el resultado anterior, puede ser?

Pero el problema es que las variables \( cX_i \) no con del mismo tipo del resultado anterior; es decir no toman valores:

\( a \) con probabilidad \( 1/a \)
\( 0 \) con probabilidad \( 1-1/a \)

sino que toman:

\( ca \) con probabilidad \( 1/a \)
\( 0 \) con probabilidad \( 1-1/a \)

Saludos.

[Quema]

Pero:

La \( P(S_n<1+n) \) es cuando todos los \( cx_i \) son ceros o un \( cX_i\neq 0 \) por lo tanto da la misma probabilidad que el caso anterior.

[Luis Fuentes]

Hola

Pero:

La \( P(S_n<1+n) \) es cuando todos los \( cx_i \) son ceros o un \( cX_i\neq 0 \) por lo tanto da la misma probabilidad que el caso anterior.

En el caso anterior no sólo influyen los ceros si no también que todas sean cero menos una.

Pero en cualquier caso que:

\( P(S_n<1+n)\geq P((X_1,X_2,\ldots,X_n)=(0,0,\dots,0))=\displaystyle\prod_{i=1}^n\left(1-\dfrac{1}{x_i}\right) \)

se cumple siempre; pero eso por si sólo queda lejos de probar la cota deseada.

Saludos.

[Quema]

Pero \( cx_i\geq{}\frac{n+1}{2} \) entonces \( Sn<1+n \) solamente cuando los \( x_i \) son todos ceros o uno vale \( x_i \) y el resto vale cero, no?
Entonces \( P(S_n<1+n)=\\\quad=P(X_1=0,...,X_n=0)+P(X_1=x_1,X_2=0,...,X_n=0)+P(X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_n=0)+...+P(X_0=x_1,X_2=0,...,X_n=x_n) \) y se obtiene la misma cota que antes.

[Luis Fuentes]

Hola

Pero \( cx_i\geq{}\frac{n+1}{2} \) entonces \( Sn<1+n \) solamente cuando los \( x_i \) son todos ceros o uno vale \( x_i \) y el resto vale cero, no?
Entonces \( P(S_n<1+n)=\\\quad=P(X_1=0,...,X_n=0)+P(X_1=x_1,X_2=0,...,X_n=0)+P(X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_n=0)+...+P(X_0=x_1,X_2=0,...,X_n=x_n) \) y se obtiene la misma cota que antes.

No. Por que ahora \( P(cX_i=cx_i)=\dfrac{1}{x_i} \) y no es cierto que \( x_i\geq \dfrac{n+1}{2} \) que es lo que permite llegar a la cota: \( \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n-1} \cdot \frac{3n-1}{n+1}, \)

Para eso hace falta que \( x_i\in [(n+1)/2,1+n) \).

Para poder aplicar el resultado tendría que ser:\( P(cX_i=cx_i)=\dfrac{1}{\color{red}cx_i\color{black}} \)

Saludos.

[Quema]

Perdón, pero sigo sin entender, \( 1<x_i\leq{}\frac{n+1}{2} \), como \( c\geq{}1 \),

\( P(S_n<1+n)=P(cS_n<(1+n)c)\geq{}P(cS_n<(1+n)) \), ahora \( cx_i\in[\frac{n+1}{2},a) \). Entonces analizo

\( P(cS_n<1+n) \) es igual a que todos los \( x_i \) sean cero conprobabilidad que \( cS_n \) sea cero es \( (1-1/x_1)....(1-1/x_n) \). Más que un \( cx_i \) sea distinto de cero y el resto cero, que tiene probabilidad \( \sum_{k=1}^n \left[ \frac{1}{x_k} \prod_{\substack{i=1 \\ i \ne k}}^n \left(1 - \frac{1}{x_i} \right) \right] \)

[Luis Fuentes]

Hola

Perdón, pero sigo sin entender, \( 1<x_i\leq{}\frac{n+1}{2} \), como \( c\geq{}1 \),

\( P(S_n<1+n)=P(cS_n<(1+n)c)\geq{}P(cS_n<(1+n)) \), ahora \( cx_i\in[\frac{n+1}{2},a) \). Entonces analizo

\( P(cS_n<1+n) \) es igual a que todos los \( x_i \) sean cero conprobabilidad que \( cS_n \) sea cero es \( (1-1/x_1)....(1-1/x_n) \). Más que un \( cx_i \) sea distinto de cero y el resto cero, que tiene probabilidad \( \sum_{k=1}^n \left[ \frac{1}{x_k} \prod_{\substack{i=1 \\ i \ne k}}^n \left(1 - \frac{1}{x_i} \right) \right] \)

Es que eso está bien. El problema es si pretendes acotar esto:

 \( \displaystyle\sum_{k=1}^n \left[ \frac{1}{x_k} \prod_{\substack{i=1 \\ i \ne k}}^n \left(1 - \frac{1}{x_i} \right) \right] \)

por esto:

\( \displaystyle\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n-1} \cdot \frac{3n-1}{n+1} \)

Necesitas que \( x_i\geq n+1/2 \).

Saludos.