Como el cuadrilátero formado por los centros de los círculos internos y sus puntos de intersección (\( APBR \) en la figura) es un rombo, \( AB \) es mediatriz de \( PR \) y viceversa. Por lo que el triángulo \( \triangle POR \) es isósceles. Entonces llamando \( r \) al radio de los círculos internos y \( R \) al del círculo exterior:
\[ PO = R-r = \frac{3r}{2} - r = \frac{r}{2} \Longrightarrow{} \]
\[ PR = \sqrt{2} \cdot{}PO = \frac{r\sqrt{2}} {2} \Longrightarrow{} \]
\[ PM = \frac{r\cdot{}\sqrt{2}} {4} \]
De donde:
\[ \cos(\angle APM) = \frac{PM}{PA} =\frac{\sqrt{2}}{4} \Longrightarrow{}
\]
\[ \angle APM = \arccos(\sqrt{2}/4) \]
Y por Pitágoras:
\[ AM^2 = r^2 - PM^2 = r^2 - \frac{r^2}{8} = \frac{7r^2}{8} \Longrightarrow{} \]
\[ AM = r \sqrt{\frac{7}{8}} \]
El área sombreada es \( 4 \) veces la diferencia entre el área del sector circular de ángulo \( \angle APM \) y el triángulo rectángulo \( \triangle AMP \):
\[ A_{som} = 4\left(r^2\pi \cdot\frac{\arccos(\sqrt{2}/4)}{2\pi} - \frac{AM\cdot PM}{2} \right) = \]
\[ 4\left(\frac{1}{2} r^2 \arccos(\sqrt{2}/4) - \frac{r^2\sqrt{7}}{16}\right) \]
Igualando al área dada y tomando la solución positiva se llega a que:
\( r \approx{27, 0307} \)
El área no sombreada de los círculos internos es:
\[ 2(\pi r^2 -1284,077) \approx 2022, 710 \ cm^2 \]
Así el área pedida es:
\[ \pi R^2 - (2022,710 + 1284,077) \approx{} 5164, 722 - (2022,710 + 1284,077) \approx{1857,935} \ cm^2 \]
