[zorropardo]

Probar : $$ A \cap{B}= \emptyset   \Leftrightarrow{   A \subset{ B^{c}}}$$


(---->) Sea $$A \cap{B}= \emptyset$$ esto es no existe $$ x \in A \cap{B}   \Rightarrow{ x \in A-B}$$ pero por definicion $$A-B=A \cap{B^{c}}$$

osea $$ x \in A \cap{B^{c}} \Rightarrow{ x \in A \wedge  x\in B^{c} }  \Rightarrow{ x  \in B^{c}}.$$ Asi $$A \subset{B^{c}}.$$ Donde esta el error?


(<----) Sea $$a \in A  \Rightarrow{  a \in B^{c} \Rightarrow a \not \in B}.$$ Si $$a \in A $$ y $$a \not \in B, \forall a \in A,$$ asi: $$A \cap{B} \subseteq{\emptyset}.$$

Y tambien $$  \emptyset  \subseteq{  A \cap  B} .$$  Por tanto $$ A \cap{B} =\emptyset . $$

Donde esta el  error??

[ani_pascual]

Hola:

Probar : $$ A \cap{B}= \emptyset   \Leftrightarrow{   A \subset{ B^{c}}}$$


(---->) Sea $$A \cap{B}= \emptyset$$ esto es no existe $$ x \in A \cap{B}   \Rightarrow{ x \in A-B}$$ pero por definicion $$A-B=A \cap{B^{c}}$$

osea $$ x \in A \cap{B^{c}} \Rightarrow{ x \in A \wedge  x\in B^{c} }  \Rightarrow{ x  \in B^{c}}.$$ Asi $$A \subset{B^{c}}.$$ Donde esta el error?


(<----) Sea $$a \in A  \Rightarrow{  a \in B^{c} \Rightarrow a \not \in B}.$$ Si $$a \in A $$ y $$a \not \in B, \forall a \in A,$$ asi: $$A \cap{B} \subseteq{\emptyset}.$$

Y tambien $$  \emptyset  \subseteq{  A \cap  B} .$$  Por tanto $$ A \cap{B} =\emptyset . $$

Donde esta el  error??

De que no exista \( x\in A\cap B \) no se puede deducir que \( x\in A-B \) porque para que se cumpla \( x\in A-B \) se ha de dar que \( x\in A\wedge x\notin B \).
La primera implicación se puede probar así:
Si es \( A=\emptyset\Longrightarrow A\subseteq B^c \). Si es \( A\neq\emptyset \), sea \( x\in A \), entonces necesariamente \( x\in B^c \) ya que si \( x\in B \) se tiene que \( x\in A\cap B \), lo cual contradice la hipótesis.
Respecto a la segunda implicación, si existe \( a\in A\cap B \) entonces \( a\in A \wedge a\in B \) y como por hipótesis es \( a\in B^c \) se tiene que \( a\in B\cap B^c \), que es absurdo. Así pues, es \( A\cap B=\emptyset \)
Editado
Saludos

[delmar]

Hola

Probar : $$ A \cap{B}= \emptyset   \Leftrightarrow{   A \subset{ B^{c}}}$$


(---->) Sea $$A \cap{B}= \emptyset$$ esto es no existe $$ x \in A \cap{B}   \Rightarrow{ x \in A-B}$$ pero por definicion $$A-B=A \cap{B^{c}}$$

osea $$ x \in A \cap{B^{c}} \Rightarrow{ x \in A \wedge  x\in B^{c} }  \Rightarrow{ x  \in B^{c}}.$$ Asi $$A \subset{B^{c}}.$$ Donde esta el error?


(<----) Sea $$a \in A  \Rightarrow{  a \in B^{c} \Rightarrow a \not \in B}.$$ Si $$a \in A $$ y $$a \not \in B, \forall a \in A,$$ asi: $$A \cap{B} \subseteq{\emptyset}.$$

Y tambien $$  \emptyset  \subseteq{  A \cap  B} .$$  Por tanto $$ A \cap{B} =\emptyset . $$

Donde esta el  error??

----->Hay error. No es correcto decir " Sea \( A\cap{B}=\emptyset \) esto es no existe \( x\in{A\cap{B}} \Rightarrow{} \) \( x \in{}A-B \) ", x es un objeto genérico  que puede pertenecer a B o a B-A o a A-B, etc; lo que se puede decir es "si \( x\in{A}\Rightarrow{x\not\in B}\Rightarrow{si \ x\in{A}\Rightarrow{x\in{A-B}}} \) ...

<----- Hay pasos innecesarios. "Sea \( a\in{A}\Rightarrow{a\in{B^c}}\Rightarrow{a\not\in B} \)" en este punto sencillamente decir " si \( a\in{A} \Rightarrow{a\not\in B}\Rightarrow{A\cap{B}=\emptyset} \)"

Saludos

[zorropardo]

Hola, (--->) si esta mal,

pero la de (<-----) con pasos innecesarios, pero esta bien verdad ? 

[delmar]

Sí

Saludos

[mathtruco]

Una demostración alternativa de \( (\Rightarrow) \)

Supongamos que \( A\cap B=\emptyset \). Queremos probar que \( A\subset B^c \).

    \( A=A\cap U=A\cap \emptyset^c=A\cap (A\cap B)^c=A\cap(A^c\cup B^c)=(A\cap A^c)\cup(A^c\cap B^c)=\emptyset\cup (A^c\cap B^c)=A^c\cap B^c\subset B^c \)

lo que demuestra lo pedido.

Esta demostración es un poco más truculenta, pero creo que es interesante considerarla como alternativa.