[anartesi]

Hola, buenas tardes. El libro que tengo en este momento, me indica como averiguar si un punto $$z=z_0$$ es polo de una función compleja pero no me explica porque se averigua así. Antes de empezar a buscar polos quisiera saber si alguien sabe, de causalidad, dónde puedo encontrar alguna explicación. Entiendo que debo usar series de Taylor o Maclaurin según sea la función en cuestión, pero no me convence del todo.

Sería útil que nos dijeras cómo te han definido lo que es un polo y cuál es el criterio que te han dado para comprobar si un punto lo es.

Hola, esta es la primer definición que aparece en el libro:

Un punto en el cual $$f(z)$$ deja de ser analítica es llamado punto singular de $$f(z)$$. Algunos de estos puntos singulares son los polos, los que parecen más complicados porque simplemente dice:

Si podemos encontrar un entero $$n>0$$  tal que $$\displaystyle\lim_{z \to z_0}{(z-z_0)^nf(z)}\neq 0$$, y sigue diciendo que $$z=z_0$$ es llamado un polo de orden n.

Pero esa definición sirve solamente para funciones que podrían ser algo así? $$f(z)=\displaystyle\frac{g(z)}{(z-a)^n(z-b)^m(z-c)^q}$$ con n, m, q enteros positivos.

Más adelante, y esto es lo que me preocupa, porque se vienen los exámenes en el colegio y voy a tener poco tiempo.
Encuentro que me proponen clasificar las singularidades de una función $$f(z)$$ examinando su serie de Laurent. Todavía me falta bastante para llegar a ese tema, pero tal vez me puedan recomendar algún otro libro además del Churchill y del Murray porque últimamente busco ejemplos y explicaciones en páginas porque a veces me confunden.

Gracias.

[EJ]

Esa definición sirve para cualquier cociente de funciones holomorfas. El conjunto de polos será discreto, pero no necesariamente finito. Mi consejo es que no quieras avanzar tanto. La materia requiere su ritmo de aprendizaje, y no creo que sea buena estrategia querer entenderlo ya todo. Lo mejor es que vayas haciendo ejercicios según vayas trabajando los conceptos y teoremas en clase. Sin tratar de anticipar "lo que vendrá para el examen".

[Carlos Ivorra]

Hola, esta es la primer definición que aparece en el libro:

Un punto en el cual $$f(z)$$ deja de ser analítica es llamado punto singular de $$f(z)$$. Algunos de estos puntos singulares son los polos, los que parecen más complicados porque simplemente dice:

Si podemos encontrar un entero $$n>0$$  tal que $$\displaystyle\lim_{z \to z_0}{(z-z_0)^nf(z)}\neq 0$$, y sigue diciendo que $$z=z_0$$ es llamado un polo de orden n.

Ante todo, en lo que dices no queda explícito que, para que una singularidad \( z_0 \) sea un polo, tiene que ser aislada, es decir, que tiene que haber un \( r>0 \) tal que la función sea analítica en todos los puntos de \( D(z_0, r)\setminus\{z_0\} \), donde \( D(z_0, r) = \{z\in \mathbb C\mid |z-z_0|<r\} \) es el disco abierto de centro \( 0 \) y radio \( r \).

Por ejemplo, considera \( \displaystyle f(z) = \frac1{\sen z} \).

Esta función tiene una singularidad aislada en \( z_0 = 0 \), y es un polo de orden 1, es decir, que cumple la definición de polo que te han dado con \( n=1 \). En efecto:

\( \displaystyle\lim_{z\rightarrow 0}(z-0)f(z) = \lim_{z\rightarrow 0}\frac z{\sen z} = \lim_{z\rightarrow 0}\frac1{\frac{\sen z}z} = \frac11 = 1 \).

Pero esa definición sirve solamente para funciones que podrían ser algo así? $$f(z)=\displaystyle\frac{g(z)}{(z-a)^n(z-b)^m(z-c)^q}$$ con n, m, q enteros positivos.

No, como ves, la función \( f(z) \) que te he puesto de ejemplo no es, en principio, de esa forma, pero tiene un polo en \( z_0 = 0 \). Digo "en principio" porque puedes definir \( g(z) = \dfrac z{\sen z} \) y resulta que esta función, aunque en principio no está definida en \( z_0 = 0 \), la puedes extender tomando, por definición, que \( g(0) = 1 \), y entonces se puede probar que \( g(z) \) es analítica en \( D(0, \pi) \) (incluido el \( 0 \)), y resulta entonces que \( f(z) = \dfrac{g(z)}z \), luego \( f(z) \) sí que es de la forma que tú decías, aunque no es algo evidente a partir de la definición de \( f \).

Eso pasa siempre: si \( f \) tiene un polo en \( z_0 \), entonces se puede poner en la forma \( f(z) = \dfrac{g(z)}{z^n} \), para cierta función \( g \) analítica en un entorno de \( z_0 \), pero no tiene por qué ser evidente que sea de esa forma.

Por ejemplo, la función \( h(z) = \dfrac1{1-\cos z} \) tiene un polo de orden \( 2 \) en \( z_0 = 0 \), pero no es evidente que se pueda poner como \( g(z)/z^2 \). Ahí hay que usar que

\( \displaystyle \lim_{z\rightarrow 0}\frac{1-\cos z}{z^2}=\frac12 \).

Más adelante, y esto es lo que me preocupa, porque se vienen los exámenes en el colegio y voy a tener poco tiempo.
Encuentro que me proponen clasificar las singularidades de una función $$f(z)$$ examinando su serie de Laurent. Todavía me falta bastante para llegar a ese tema, pero tal vez me puedan recomendar algún otro libro además del Churchill y del Murray porque últimamente busco ejemplos y explicaciones en páginas porque a veces me confunden.

No entiendo bien la situación. Antes de que te pidan clasificar singularidades usando series de Laurent tendrán que explicarte qué es eso, ¿no? De hecho, me parece extraño que te hablen de polos antes de haber visto series de Laurent. ¿Te piden ahora que hagas algo con polos o estás viendo ejercicios que tendrás que hacer más adelante cuando ya hayas visto series de Laurent?

No sabría decirte recomendarte ningún libro en particular, pero seguro que encuentras muchos en internet, y todos te van a decir más o menos lo mismo en un orden u otro, pero, de todos modos, si tienes algún ejercicio que no acabas de entender o que te genera alguna duda sobre la generalidad del método, o lo que sea, plantéalo y lo comentamos. Decías:

El libro que tengo en este momento, me indica como averiguar si un punto $$z=z_0$$ es polo de una función compleja pero no me explica porque se averigua así.

Te he puesto un ejemplo de cómo se puede comprobar que una función tiene un polo en un punto usando la definición que has dado. ¿Es eso lo que hace tu libro? Si es eso, no hay mucho que explicar: se averigua así porque ésa es la definición de polo. Si el método que te proponen es otro que no se parece a la definición, dilo y vemos cuál es la relación.

Antes de empezar a buscar polos quisiera saber si alguien sabe, de causalidad, dónde puedo encontrar alguna explicación.

¿Pero una explicación de qué? Si te han dado esa definición de polo, y te comprueban si un punto es un polo usando esa definición, no hay mucho que explicar. Se puede explicar más a fondo la idea subyacente al concepto de polo, pero para eso es mejor que conozcas antes las series de Laurent. Convendría que concretaras tus dudas en la forma: "no entiendo esto", o "no entiendo por qué esto es así", y así vemos cuál es el problema realmente.

Entiendo que debo usar series de Taylor o Maclaurin según sea la función en cuestión, pero no me convence del todo.

Los límites del seno y el coseno que he usado antes se pueden deducir de las series de Maclaurin de dichas funciones. Por ejemplo,

\( \cos z = 1-\dfrac{z^2}2+\dfrac{z^4}{24}-\cdots \)

Y de ahí se deduce que \( \dfrac{1-\cos z}{z^2} = \dfrac12-\dfrac{z^2}{24}+\cdots \), de donde sale el límite que te he indicado antes. Así que usando series puedes calcular los límites que necesitas para determinar si algunas funciones tienen polos en algunos puntos. Pero insisto en que sería más fácil si explicitaras qué es lo que no te convence. De lo contrario podríamos estar tratando de explicarte cosas que no son realmente las dudas que tienes.

[anartesi]

Esa definición sirve para cualquier cociente de funciones holomorfas. El conjunto de polos será discreto, pero no necesariamente finito. Mi consejo es que no quieras avanzar tanto. La materia requiere su ritmo de aprendizaje, y no creo que sea buena estrategia querer entenderlo ya todo. Lo mejor es que vayas haciendo ejercicios según vayas trabajando los conceptos y teoremas en clase. Sin tratar de anticipar "lo que vendrá para el examen".

Hola, simplemente pregunté , porque a veces, las dudas que se me plantean son un problema más incómodo que los ejercicios en si mismos. En general no me pasa eso, pero a veces si.

[anartesi]

Hola, esta es la primer definición que aparece en el libro:

Un punto en el cual $$f(z)$$ deja de ser analítica es llamado punto singular de $$f(z)$$. Algunos de estos puntos singulares son los polos, los que parecen más complicados porque simplemente dice:

Si podemos encontrar un entero $$n>0$$  tal que $$\displaystyle\lim_{z \to z_0}{(z-z_0)^nf(z)}\neq 0$$, y sigue diciendo que $$z=z_0$$ es llamado un polo de orden n.

Ante todo, en lo que dices no queda explícito que, para que una singularidad \( z_0 \) sea un polo, tiene que ser aislada, es decir, que tiene que haber un \( r>0 \) tal que la función sea analítica en todos los puntos de \( D(z_0, r)\setminus\{z_0\} \), donde \( D(z_0, r) = \{z\in \mathbb C\mid |z-z_0|<r\} \) es el disco abierto de centro \( 0 \) y radio \( r \).

Por ejemplo, considera \( \displaystyle f(z) = \frac1{\sen z} \).

Esta función tiene una singularidad aislada en \( z_0 = 0 \), y es un polo de orden 1, es decir, que cumple la definición de polo que te han dado con \( n=1 \). En efecto:

\( \displaystyle\lim_{z\rightarrow 0}(z-0)f(z) = \lim_{z\rightarrow 0}\frac z{\sen z} = \lim_{z\rightarrow 0}\frac1{\frac{\sen z}z} = \frac11 = 1 \).

Pero esa definición sirve solamente para funciones que podrían ser algo así? $$f(z)=\displaystyle\frac{g(z)}{(z-a)^n(z-b)^m(z-c)^q}$$ con n, m, q enteros positivos.

No, como ves, la función \( f(z) \) que te he puesto de ejemplo no es, en principio, de esa forma, pero tiene un polo en \( z_0 = 0 \). Digo "en principio" porque puedes definir \( g(z) = \dfrac z{\sen z} \) y resulta que esta función, aunque en principio no está definida en \( z_0 = 0 \), la puedes extender tomando, por definición, que \( g(0) = 1 \), y entonces se puede probar que \( g(z) \) es analítica en \( D(0, \pi) \) (incluido el \( 0 \)), y resulta entonces que \( f(z) = \dfrac{g(z)}z \), luego \( f(z) \) sí que es de la forma que tú decías, aunque no es algo evidente a partir de la definición de \( f \).

Eso pasa siempre: si \( f \) tiene un polo en \( z_0 \), entonces se puede poner en la forma \( f(z) = \dfrac{g(z)}{z^n} \), para cierta función \( g \) analítica en un entorno de \( z_0 \), pero no tiene por qué ser evidente que sea de esa forma.

Por ejemplo, la función \( h(z) = \dfrac1{1-\cos z} \) tiene un polo de orden \( 2 \) en \( z_0 = 0 \), pero no es evidente que se pueda poner como \( g(z)/z^2 \). Ahí hay que usar que

\( \displaystyle \lim_{z\rightarrow 0}\frac{1-\cos z}{z^2}=\frac12 \).

Si, ayer luego de escribir ese mensaje me quedé pensando justamente que no mencionaba nada sobre el entorno del punto, tal vez lo da como sobreentendido. Los ejemplos de los libros que tengo son solo funciones como la que escribí, eso me confunde.

"No entiendo bien la situación. Antes de que te pidan clasificar singularidades usando series de Laurent tendrán que explicarte qué es eso, ¿no? De hecho, me parece extraño que te hablen de polos antes de haber visto series de Laurent. ¿Te piden ahora que hagas algo con polos o estás viendo ejercicios que tendrás que hacer más adelante cuando ya hayas visto series de Laurent?"


Si, me dan una clasificación de singularidades, un par de ejemplos y nada más.

Me van a explicar series de Laurent, simplemente recordé de mis anteriores épocas de estudio, que buscando y buscando y luego de haberme leído no sé cuantos libros de análisis, tenía preferencias por algunas explicaciones antes que otras, de distintos libros (pero recién empezaba a estudiar y tenía mucho tiempo disponible), ahora no dispongo de tanto o de tanta paciencia, no sé.


"No sabría decirte recomendarte ningún libro en particular, pero seguro que encuentras muchos en internet, y todos te van a decir más o menos lo mismo en un orden u otro, pero, de todos modos, si tienes algún ejercicio que no acabas de entender o que te genera alguna duda sobre la generalidad del método, o lo que sea, plantéalo y lo comentamos."

Está bien, si todos dicen más o menos lo mismo, buscaré entre los disponibles y me conformaré con lo que entienda más. A veces, los profesores vemos más o menos lo mismo donde los alumnos vemos cosas tan distintas.

"Pero insisto en que sería más fácil si explicitaras qué es lo que no te convence. De lo contrario podríamos estar tratando de explicarte cosas que no son realmente las dudas que tienes."

Eso es cierto, trataré de explicitarme mejor a mi misma primero, pero me confirmó (algo que me parecía) que si la función tiene otra forma, la llevo a la forma en la que puedo estudiar los polos.

Muchas gracias

[Carlos Ivorra]

Si, ayer luego de escribir ese mensaje me quedé pensando justamente que no mencionaba nada sobre el entorno del punto, tal vez lo da como sobreentendido. Los ejemplos de los libros que tengo son solo funciones como la que escribí, eso me confunde.

Las funciones de ese tipo son las más fáciles para encontrar sus polos, pero en un problema de encontrar polos es posible que te den funciones que no vengan dadas de esa forma, como los dos ejemplos que te he puesto yo.

Pero entonces no me cuadra lo que has dicho de que has visto que se usan series de Taylor, porque justo para ejemplos de ese tipo no hacen falta para nada.

Si, me dan una clasificación de singularidades, un par de ejemplos y nada más.

Pero deberías tener una colección de problemas en la que puedas ver qué clase de problemas se supone que tienes que saber resolver. Incluso es posible que en una colección de problemas haya problemas sobre polos más complejos, pero que están pensados para abordarlos cuando ya hayas visto más teoría.

Me van a explicar series de Laurent, simplemente recordé de mis anteriores épocas de estudio, que buscando y buscando y luego de haberme leído no sé cuantos libros de análisis, tenía preferencias por algunas explicaciones antes que otras, de distintos libros (pero recién empezaba a estudiar y tenía mucho tiempo disponible), ahora no dispongo de tanto o de tanta paciencia, no sé.

Me parece que hay formas más sensatas de presentar los polos de una función holomorfa que la que al parecer te están dando (yo no hablaría de polos antes de haber estudiado las series de Laurent, por ejemplo), pero no tengo claro que sea rentable que le des la vuelta al temario y trates de estudiar por tu cuenta temas que vas a ver luego.

Está bien, si todos dicen más o menos lo mismo, buscaré entre los disponibles y me conformaré con lo que entienda más. A veces, los profesores vemos más o menos lo mismo donde los alumnos vemos cosas tan distintas.

Yo he dicho: "más o menos lo mismo en un orden u otro", y aquí el orden es relevante. Hay formas —a mi juicio— más simples para entender las singularidades aisladas de una función, y te las encontrarás en muchos libros, pero eso supone estudiarte por tu cuenta los resultados básicos sobre series de Taylor y de Laurent de funciones holomorfas (y si, como creo recordar que dijiste, estás empezando el curso ahora, a su vez requieren las fórmulas integrales de Cauchy, que es posible que aún no las hayas visto), por lo que no veo claro que eso sea un camino recomendable. Si abres un libro y, antes de llegar a los polos te encuentras con un montón de resultados necesarios que aún no has visto, ¿qué harás?, ¿estudiártelos todos por tu cuenta?

Quiero decir que el problema aquí puede que no sea si una explicación te gusta más o menos que otra, sino si tienes ya los elementos necesarios para poder ver las cosas de una manera o de otra.

Eso es cierto, trataré de explicitarme mejor a mi misma primero, pero me confirmó (algo que me parecía) que si la función tiene otra forma, la llevo a la forma en la que puedo estudiar los polos.

Como veas, pero lo que te digo es que no es buena cosa que "te conformes" con nada, como decías antes. No sé a ciencia cierta qué has visto y qué no, pero si acierto al conjeturar que todavía no has visto muchos resultados sobre funciones holomorfas, entonces yo diría que tu problema no es encontrar una explicación que te guste más, sino que una explicación seria de lo que son las singularidades de una función holomorfa requiere saber más cosas que las que has visto hasta ahora. Pero si es así, si todavía no habéis visto gran cosa sobre funciones holomorfas (en particular, si no habéis visto las fórmulas integrales de Cauchy, por ejemplo), lo que no me explico es para qué te hablan de polos a estas alturas.

Mi consejo es que trates de formarte una idea clara de qué clase de problemas se supone que tienes que saber resolver a estas alturas del curso y, si ves algo que no entiendes, en ellos o en la teoría relacionada con ellos, lo preguntes, pero concretando el problema y la duda. De lo contrario, tendríamos que responderte dando palos de ciego, y eso no suele ser muy eficiente.

[anartesi]

Gracias, es mas o menos lo que pienso también. A esta altura ya hice todos los ejercicios que me propusieron, en estos manuales los ejercicios son muy simples. Me genera conflicto esto de los polos (desconozco porque lo introducen allí) y las demás singularidades, pero voy a comenzar con funciones bien simples, que sean discontinuas en algún punto. Así entiendo y voy viendo si puedo transformarlas o no (con lo que sé ) y en la medida en que no pueda hacerlo, creo que se me va a ir formando una idea de porque va a ser necesario lo que sigue.

Entendí algunos ejercicios donde usaban series de Taylor para aproximar los límites porque yo sé que puedo aproximar funciones en un punto con series de potencias (solo eso).

El profesor me dijo que no trate eso aún, pero soy lenta y necesito tiempo para entender. Gracias.



 

[Carlos Ivorra]

Gracias, es mas o menos lo que pienso también. A esta altura ya hice todos los ejercicios que me propusieron, en estos manuales los ejercicios son muy simples. Me genera conflicto esto de los polos (desconozco porque lo introducen allí) y las demás singularidades, pero voy a comenzar con funciones bien simples, que sean discontinuas en algún punto. Así entiendo y voy viendo si puedo transformarlas o no (con lo que sé ) y en la medida en que no pueda hacerlo, creo que se me va a ir formando una idea de porque va a ser necesario lo que sigue.

Como veas, pero yo me plantearía esto: a lo mejor dándole vueltas a algo que no tienes claro, al cabo de tres o cuatro horas acabas viéndolo. Pero, en cambio, si planteas aquí lo que no tienes claro y recibes una orientación, en vez de tres o cuatro horas, tal vez te baste media. Si la velocidad es relevante, sería para considerarlo. A lo mejor así no te considerarías tan lenta.

Entendí algunos ejercicios donde usaban series de Taylor para aproximar los límites porque yo sé que puedo aproximar funciones en un punto con series de potencias (solo eso).

El profesor me dijo que no trate eso aún, pero soy lenta y necesito tiempo para entender.

En realidad no es cosa de aproximaciones. Lo que sucede es que si una función analítica tiene una singularidad aislada en un punto \( z_0 \), entonces, en un entorno de dicho punto, se puede expresar en la forma

\( \displaystyle f(z) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty}a_i (z-z_0)^i = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{a_{-i}}{(z-z_0)^i}+ \sum_{i=0}^{+\infty}a_i(z-z_0)^i \).

La singularidad es un polo de orden \( n \) si \( a_{-n}\neq 0 \), pero \( a_i = 0 \) para \( i<-n \), es decir, si la serie es de la forma

\( \displaystyle f(z) =\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\frac{a_{-n+1}}{(z-z_0)^{n-1}}+\cdots + \frac{a_{-1}}{z-z_0}+ \sum_{i=0}^{+\infty}a_i(z-z_0)^i \).

En cambio, si hay infinitos coeficientes \( a_{-i} \) no nulos, la singularidad se llama esencial.

Si todos los \( a_{-i} \) son nulos, la singularidad se llama evitable, porque entonces

\( \displaystyle f(z) = \sum_{i=0}^{+\infty}a_i(z-z_0)^i \)

es también analítica en \( z_0 \). Es lo que le pasa, por ejemplo, a \( \frac{\sen z}z \), que tiene en \( z_0 = 0 \) una singularidad evitable.

Los polos son singularidades más sencillas de tratar que las singularidades esenciales. Las funciones que sólo tienen singularidades de este tipo (polos, o ninguna) se llaman funciones meromorfas y son las funciones con singularidades más sencillas.

Pero todo esto que te digo no se puede ver con detalle sin demostrar lo primero que te he dicho: que siempre es posible encontrar un desarrollo en serie de Laurent (así se llaman estas series infinitas por los dos lados) y que sus coeficientes son únicos.

[anartesi]

No es un problema la lentitud, tengo el fin de semana para dedicarle a esto, para empezar.
Pregunté porque me parecía raro lo que decía ese libro y, efectivamente es raro..demasiado breve e incompleto, confunde. Además, hace tantos años que no estudio activamente que no sé si estoy errada a veces en mis apreciaciones.
Pero bueno, ahora me quedo más tranquila.