Hola a todos! como andan? espero que bien!
a continuación les presento la respuesta a una pregunta que quizás pasaste por alto sobre los coeficientes de Fourier, ¿Por que los coeficiente pares de una serie de Fourier son 0 (ceros)?
Para empezar, arranquemos con un ejemplo para saber donde estamos parados...
Tomemos f(t) = |t| (valor absoluto de t) en el intervalo [-\pi , \pi] (es decir, estamos pensando en la función
periódica de período 2" que coincide con |t| en el intervalo [-\pi ; -\pi ]).
Los coeficientes de Fourier son
a_n= \frac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }\:\left|t\right|\cdot cos\left(nt\right)dt
y
b_n = \frac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }\:\left|t\right|\cdot sen\left(nt\right)dt
y como la funcion \left|t\right|\cdot sen\left(nt\right) es impar, resulta que todas las integrales que definen b_n son cero, es decir, b_n=0 \forall{n}, y si n\neq 0 nos queda que
a_n= \frac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }\:\left|t\right|\cdot cos\left(nt\right)dt
= \frac{2}{\pi }\int _0^{\pi }\:\left|t\right|\cdot cos\left(nt\right)dt
bueno dado que no me llevo mucho con LaTex, esta integral definida tiene el siguiente resultado
= \frac{2}{\pi n^2}\left[cos\left(n\pi \right)-1\right]
teniendo que
\frac{2}{\pi n^2}\left[cos\left(n\pi \right)-1\right]=\begin{cases}{0}&\text{si}& \text{n es par}\\ \frac{-4}{\pi n^2} & \text{si}& \text{n es impar}\end{cases}
sabemos que cos\left(n\pi \right)=\left(-1\right)^n \forall{n} \in \mathbb{Z}
una observacion
que podemos apreciar es que los coeficientes de fourier son de orden \frac{1}{n^2} pero no mas, porque f es continua pero la derivada (f') es discontinua. (fin de observacion)
(inserte serie de fourier aqui*)
bueno, por otro lado el a_0 = \frac{2}{\pi }\int _0^{\pi }\:t\:dt=\:\pi
Aqui surge la pregunta... ¿Por que los a_n son 0 cuando n es par?
Para responder esta pregunta, debemos ahondar un poco mas en el analisis de Fourier y dar la definicion de simetria de medio rango, que la podemos escribir como sigue:
Si f es una funcion periodica de periodo 2p, diremos que f tiene simetria impar de media onda (o medio rango / simetria T) si
f\left(t\right)=-f\left(t+p\right) \forall{t} \in \mathbb{R} debemos notar que esta simetría depende del periodo de la funcion.. para que me entiendas es trasladar la función medio período y ésta produce su opuesto.
Una forma de ver que signifiica gráficamente esto es la siguiente: si en la definición no estuviera
el signo menos estaríamos pidiendo que f tenga período p; por lo tanto una forma de detectar este
tipo de simetría es graficar la función en el intervalo [p; p); y luego reflejar con respecto al eje
t en el intervalo (0; p). Si el resultado obtenido es la misma gráfica que en el intervalo (p; 0) tendremos simetría T
con esto en mente podemos proponer el siguiente Lema
si f es una función de periodo 2p e integrable en el intervalo cerrado [-p, p] y con simetria T y \left\{a_n\right\}_{n=0}^{\infty }, \left\{b_n\right\}_{n=1}^{\infty } son los coeficientes de Fourier de f, entonces a_n=a_{2n}=b_{2n}=0 \forall{n}\ge 1 (en español, los coeficientes de subíndice par son todos nulos)
Demostremos esto:
Usando simetría y haciendo cambio de variables u= t+p tenemos que:
(imagen 1 de la demostración)
Se puede ver que (en cierta medida) la recíproca del lema anterior es verdad: si los coeficientes
de subíndice par son nulos, entonces f tiene simetría T pues (si por ejemplo, f es continua)
(imagen 2 )
Combinando esta simetría con paridad e imparidad, podemos en algunas ocasiones, ahorrarnos el cálculo de muchos coeficientes de Fourier. Considerar por ejemplo la función de período
2\pi tal que f(t) = |t| - \pi/2 en el intervalo de [-\pi; \pi]
esta función es par y tiene simetría T, por lo cual sabemos que sus coeficientes de Fourier serán a_n =0 para n par y b_n=0 (ya que la funcion es par)
Los coeficientes pares de Fourier pueden anularse si la función tiene simetría de media onda (simetría T). Esta propiedad es útil para simplificar el cálculo de las series de Fourier, especialmente cuando se combina con la paridad (par/impar) de la función. Resumen nivel 5... si la función a la que quieres determinar la serie de Fourier, si ves que la función tiene simetría de media onda, propiedad implica que los coeficientes con índice par en la serie de Fourier se anulan
Aclaración: No tomar como la verdad absoluta, sujeto a discusión, pueden opinar, criticar, y aportar a la causa si quieren...
Sin mas les mando muchos saludos desde el otro lado del mundo! cuídense! y sepan disculpar las desprolijidades (intentare mejorar!)
Elizabeth!
