[Aday]

Tengo el siguiente problema:

Una corona esférica conductora de radios \( R_1 = 5 \) cm y \( R_2 = 10 \) cm está rodeada de un dieléctrico de espesor \( e=2 \) cm y permitividad relativa \( \varepsilon_r =5 \). Inicialmente está aislada y descargada, hasta que en el centro de esta corona esférica se sitúa una carga puntual \( q =5 \) nC. Calcule la carga en cada superficie del conductor y su potencial.

Yo obtengo que el potencial del conductor viene dado por:
\[ V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{R_2+e} + \frac{1}{\varepsilon_r}\left(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_2+e}\right)\right] \]

y evaluando los valores obtengo que \( V =  433.197 \) V, sin embargo, en la solución oficial se muestra que es \( V=150 \) V. No sé si sea que la solución oficial esté mal, pero no veo el fallo en mi resultado.

[JCB]

Hola a tod@s.

Obtengo la misma expresión que tú, pero al sustituir valores, me da que el potencial del conductor es \( V=389,48\ V \).

Supongo que para obtener tu expresión, habrás integrado el campo eléctrico desde el \( \infty \) hasta la superficie exterior del dieléctrico \( (R_2+e) \).

\( V_1=-\displaystyle\int_{\infty}^{R_2+e}\dfrac{kq}{r^2}dr=\dfrac{kq}{R_2+e}=374,50\ V \).

Y después, integrado el campo eléctrico desde la superficie exterior del dieléctrico hasta la superficie exterior del conductor \( (R_2) \).

\( V_2=-\displaystyle\int_{R_2+e}^{R_2}\dfrac{kq}{\epsilon_r r^2}dr=\dfrac{kq}{\epsilon_r }\left(\dfrac{1}{R_2}-\dfrac{1}{R_2+e}\right)=14,98\ V \).

\( V_1+V_2=389,48\ V \).

A ver si alguien encuentra el error.

Saludos cordiales,
JCB.

[ani_pascual]

Hola:
He observado que si se considera que tanto la capa interna de la corona como la externa están rodeadas de dieléctrico, entonces el potencial eléctrico en \( r=R_1-e \), sería
\( \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\left(\dfrac{1}{R_1-e}-\dfrac{1}{R_1}\right)+\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\left(\dfrac{1}{R_2}-\dfrac{1}{R_2+e}\right)+\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \dfrac{1}{R_2+e}=510\,V \) que se parece visualmente a \( 150\,V \)   
No sé si esto tiene mucho sentido ...

Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

ani_pascual: no acabo de ver cómo el dieléctrico que has añadido en el interior del conductor, afecta al campo entre \( \infty \) y \( R_2+e \), y tampoco al campo entre \( R_2+e \) y \( R_2 \). En consecuencia, tampoco veo que afecte al potencial en el conductor.

Saludos cordiales,
JCB.

[ani_pascual]

Hola JCB:

...
no acabo de ver cómo el dieléctrico que has añadido en el interior del conductor, afecta al campo entre \( \infty \) y \( R_2+e \), y tampoco al campo entre \( R_2+e \) y \( R_2 \). En consecuencia, tampoco veo que afecte al potencial en el conductor.
...

No, si ahí, ya veo que no afecta, es entre \( \infty \) y \( R_1-e \). ¿Cómo se hallaría el potencial en \(  R_1-e \)?
Ya digo que quizás no tenga sentido el planteamiento...
Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Efectivamente, me había pasado por alto (había leído en diagonal, como se dice modernamente) que en tu respuesta # 2, ani_pascual, estabas calculando el potencial eléctrico en la superficie de radio \( R_1-e \), y yo lo haría de la misma manera que tú (llegando al valor de \( 509,32\ V \)). De todas maneras, el enunciado del ejercicio solicita el potencial en el conductor, y no en el (los) dieléctrico (s).

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

A ver si alguien encuentra el error.

Coincido, no veo error alguno.