[zorropardo]

Sea $$A \triangle{B}=(A-B) \cup{(B-A)}.$$ Probar que si $$A \triangle{B}= A \triangle{C}$$  entonces  $$B=C.$$

[Masacroso]

Sea $$A \triangle{B}=(A-B) \cup{(B-A)}.$$ Probar que si $$A \triangle{B}= A \triangle{C}$$  entonces  $$B=C.$$

Te bosquejo una posible solución. Debido a la simetría inherente al problema es suficiente con demostrar que si \( x\in B \) entonces \( x\in C \). Hay dos casos:

Caso 1): \( x\in B\setminus A \), por tanto \( x\in A\,\triangle\, B=A\,\triangle\, C \), de donde se deduce fácilmente que \( x\in C\setminus A \) y por tanto \( x\in C \).

Caso 2): \( x\in B\cap A \), por tanto \( x\notin A\,\triangle\, B=A\,\triangle\, C \), por tanto \( x\in (A\,\triangle\, C)^\complement =(A\cap C)\cup (A^\complement \cap C^\complement ) \), de donde se deduce fácilmente que \( x\in A\cap C \), y por tanto \( x\in C \).∎

P.D.: desconocía esta relación con la diferencia simétrica, muy interesante.

[zorropardo]

Hola no seria:

$$(A \triangle{ C })^{c}= [(A-C) \cup{ (C-A)}]^{c}= [(A \cap  C^{c}) \cup{(C \cap A^{c})}]^{c}=(A^{c} \cup{C}) \cap ( C^{c} \cap{A}) $$   

En ese caso $$x \in C$$ y $$x \in C^{c}$$ 

[Carlos Ivorra]

P.D.: desconocía esta relación con la diferencia simétrica, muy interesante.

Hay una razón de fondo. Si llamamos \( \mathcal PX \) al conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto \( X \), entonces \( \mathcal PX \) es un anillo conmutativo y unitario tomando como suma la diferencia simétrica y como producto la intersección.

Por eso, la relación del enunciado es un caso particular de la relación \( a+b = a+c\rightarrow b = c \), válida en cualquier anillo.

Más explícitamente, admitiendo que la diferencia simétrica es asociativa, si \( A\triangle B = A\triangle C \), se cumple que \( A\triangle A\triangle B = A\triangle A\triangle C \), luego \( \emptyset\triangle B = \emptyset \triangle C \), luego \( B=C \).

Aquí la idea de fondo es que, en el anillo determinado por la diferencia simétrica y la intersección, \( -A = A \), luego lo que he hecho ha sido sumar \( -A \) a ambos miembros.

[Masacroso]

Hola no seria:

$$(A \triangle{ C })^{c}= [(A-C) \cup{ (C-A)}]^{c}= [(A \cap  C^{c}) \cup{(C \cap A^{c})}]^{c}=(A^{c} \cup{C}) \cap ( C^{c} \cap{A}) $$   

En ese caso $$x \in C$$ y $$x \in C^{c}$$ 

Usando la distribución de la intersección sobre la unión tienes que

\[
(A^\complement \cup C)\cap (A\cup C^\complement )=(A\cap A^\complement )\cup (A^\complement \cap C^\complement )\cup (C\cap A)\cup (C\cap C^\complement )=(A^\complement \cap C^\complement )\cup (A\cap C )
\]

Esta última unión es disjunta, por tanto o bien \( x\in A \cap C \), o bien \( x\in A^\complement \cap C^\complement \), y el segundo caso no puede ser ya que por hipótesis \( x\in A \) (ya que \( x\in B\cap A \)).

[Masacroso]

P.D.: desconocía esta relación con la diferencia simétrica, muy interesante.

Hay una razón de fondo. Si llamamos \( \mathcal PX \) al conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto \( X \), entonces \( \mathcal PX \) es un anillo conmutativo y unitario tomando como suma la diferencia simétrica y como producto la intersección.

Por eso, la relación del enunciado es un caso particular de la relación \( a+b = a+c\rightarrow b = c \), válida en cualquier anillo.

Más explícitamente, admitiendo que la diferencia simétrica es asociativa, si \( A\triangle B = A\triangle C \), se cumple que \( A\triangle A\triangle B = A\triangle A\triangle C \), luego \( \emptyset\triangle B = \emptyset \triangle C \), luego \( B=C \).

Aquí la idea de fondo es que, en el anillo determinado por la diferencia simétrica y la intersección, \( -A = A \), luego lo que he hecho ha sido sumar \( -A \) a ambos miembros.

Ajá, muy interesante. Sabía que había por ahí un anillo en el conjunto potencia, pero no recordaba bien cómo estaba construido.

[zorropardo]

En ese caso se probo una inclusion, la otra inclusion tambien seria analoga verdad? osea

Caso 1.- Si $$x \in C-A  \subseteq{ A \triangle{C}} = A \triangle{B} \Rightarrow  x \in (B-A) \Rightarrow{ x \in B.}$$ Asi $$C \subseteq{B}$$

Caso 2.- Si $$ x \in C \cap{A} \Rightarrow{ x \not\in A \triangle{C} = A \triangle{B} } \Rightarrow{ x \in B}.$$ Asi   $$C \subseteq{B}.$$

[Juan Pablo Sancho]

Otra forma:
Si \( B \neq C \) podemos suponer que existe \( b \in B \setminus C \)
Si \( b \in  A \) entonces \( b \notin A \triangle B \) y \( b \in A \triangle C \) luego \( A \triangle B \neq A \triangle C \)
Si \( b \notin  A \) entonces \( b \in A \triangle B \) y \( b \notin A \triangle C \) luego \( A \triangle B \neq A \triangle C \)