[zorropardo]

Sea $$f: P(A) \rightarrow{P(A)}$$ una funcion tal que $$X \subset{Y} \Rightarrow{f(Y)\subset{f(X)}}$$ y $$f(f(X))=X.$$ Probar que

$$f(\cup{X_{\lambda}})=\cap{f(X_{\lambda})}$$ y $$f(\cap{X_{\lambda}})=\cup{f(X_{\lambda})}.$$ Donde $$X,Y,X_{\lambda}$$ son subconjuntos de $$A.$$

Hice lo siguiente: Tenemos que $$X_{\lambda} \subset{\cup{X_{\lambda}}} \Rightarrow{f({X_{\lambda}})} \subset{f(\cup X_{\lambda})}$$ osea $$\cap{f(X_{\lambda})} \subset{f(\cup{X_{\lambda}})}.$$ Como podria probar la otra inclusion 

[ani_pascual]

Hola:

...
¿Cómo podría probar la otra inclusión?

Si no me equivoco...
Sea \( y\in \bigcap\limits_{\lambda\in\Lambda}f(X_{\lambda}) \). Entonces, dado \( \gamma\in\Lambda \) arbitrario, se tiene que \( y\in f(X_{\gamma})\Longrightarrow  f(y)\in f(f(X_{\gamma}))=X_{\gamma}\subset\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}\Longrightarrow
y=ff(y)\in f\left(\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}\right) \)
Añadido
Creo que he probado la misma inclusión que tú   
...

A ver ahora...
Sea
\( \gamma\in\Lambda \) arbitrario, entonces \( X_{\gamma}\subset\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda} \) luego \( f\left(\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}\right)\subset f(X_{\gamma}) \). Por tanto, como \( \gamma\in\Lambda \) es arbitrario, se deduce que
\( f\left(\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}\right)\subset \bigcap\limits_{\lambda\in\Lambda}f(X_{\lambda}) \).
La inclusión que has hecho es correcta y no usa la hipótesis.

La segunda parte, una vez probada la primera parte:
\(
f\left(\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}f(X_{\lambda})\right)=\bigcap\limits_{\lambda\in\Lambda}ff(X_{\lambda})=\bigcap\limits_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}\Longrightarrow \\f\left(\bigcap\limits_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}\right)=ff\left(\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}f(X_{\lambda})\right)=\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}f(X_{\lambda}) \)
Saludos 

[zorropardo]

Genial, muy agradecido ani.