Hola, este ejercicio es del libro Cálculo de varias variables, de James Stewart.
Dice así:
determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{x^n}{2n-1}}$$
Lo que hice fue lo siguiente:
$$\left |{\displaystyle\frac{a_n+1}{a_n}}\right |= \left |{\displaystyle\frac{x^{n+1}. (2n-1)}{(2n+1).x^n}}\right |=\left | {\displaystyle\frac{2n-1}{2n+1}}\right |.\left |{x}\right |$$ y eso tiende a $$1.\left |{x}\right |$$ si $$n\rightarrow{\infty}$$
Según la prueba que estoy usando, converge si $$\left |{x}\right |<1$$ si $$x \in{(-1,1)}$$ y diverge si $$x\not\in (-1,1)$$
Entonces el radio sería 1.
Lo que me faltaría sería ver que pasa en los extremos del intervalo, para eso usé el criterio de series alternadas de Leibnitz, si $$x= -1$$
la serie sería:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n . \displaystyle\frac{1}{2n-1}}$$
por ser $$\displaystyle\frac{1}{2n-1}>0$$ , decreciente y $$\displaystyle\lim_{n \to\infty}{\displaystyle\frac{1}{2n-1}}=0$$ esa serie sería convergente.
Luego, si $$x=1$$ (el otro extremo del intervalo), la serie sería más simple:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{2n-1}}$$ es una serie de esta forma: $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{n^p}}$$ con $$p=1$$ DIVERGENTE.
finalmente, la serie converge en $$x=-1$$ y diverge en $$x=1$$. Entonces el intervalo de convergencia sería $$[-1, 1)$$
Hice las cuentas y es correcto esto, pero ¿estaría bien explicado así o con las cuentas es suficiente?
