[RH]

Este límite es muy enrevesado, desconozco si se puede resolver de manera algebraica, he utilizado el término cumsum mejor que el sumatorio para facilitar la lectura y evitar equivocaciones. No pido que lo resolváis si no queréis, pero, utilizando el análisis numérico, ¿se puede determinar su convergencia? Gráficamente para n=10000000 parece estabilizarse. Adjunto imagen del límite.




\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{\text{cumsum}\left(\frac{1}{n} + \text{cumsum}\left(\frac{1}{\text{cumsum}\left(\frac{1}{n}\right)}\right)\right) - n}{\text{cumsum}(n)}} \)

[Masacroso]

Supongo que \( \operatorname{cumsum}(x_n)=\sum_{k=1}^n x_k \) para una sucesión \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \), entonces utilizando el teorema de Stolz-Cesàro dos veces tenemos que

\[
\begin{align*}
\lim_{n\to \infty }\frac{\sum_{j=1}^n\left(\frac1{j}+\sum_{h=1}^j \frac1{\sum_{k=1}^h \frac1{k}}\right)-n}{\sum_{k=1}^n k}&=\lim_{n\to \infty }\frac{\sum_{j=1}^n\left(\frac1{j}+\sum_{h=1}^j \frac1{\sum_{k=1}^h \frac1{k}}\right)}{\sum_{k=1}^n k}\\
&=\lim_{n\to \infty }\frac{\frac1{n}+\sum_{j=1}^n \frac1{H_j}}{n}\\
&=\lim_{n\to \infty }\frac{\sum_{j=1}^n \frac1{H_j}}{\sum_{j=1}^n 1}\\
&=\lim_{n\to \infty }\frac1{H_n}=0
\end{align*}
\]