[josvit]

Buen día a todos
Quisiera que alguien me ayude a demostrar una expresión en lo que es el tema de la circunferencia como lugar geométrico, no se me ocurre como demostrar la ecuación de la cuerda o recta de contacto, cuya definición que conozco es: la recta que se genera por la unión de los dos puntos de tangencia de la circunferencia a dos rectas trazadas desde un punto exterior en el plano. Al buscar información sobre esta no aparece tanto y tampoco en los libros que tengo acceso, por eso es que no se me ocurren tantas ideas.
La expresion que conozco es :  L: XoX + YoY=r²,
que viene a ser de la ecuacion de la cuerda de contacto, donde: x,y son las variables y Xo,Yo las coordenadas del punto exterior.
Esta ecuacion es válida cuando el centro de la circunferencia es el origen, hay otras dos ecuaciones para cuando su centro es diferente al origen de coordenadas ya sea apartir de su ecuación ordinaria o general, pero en este caso quisiera que me ayuden en el caso donde el origen de coordenadas coinicide con el centro de la circunferencia, supOngo que apartir de esta se deducen las demás.

Muchas gracias...

[delmar]

Hola

Una forma :

Suponiendo que los puntos de tangencia son \( (x_1,y_1) \wedge (x_2,y_2) \) y el punto exterior \( (x_0,y_0) \) y los puntos de la recta qué te piden \( (x, y)  \) por ser el centro de la circunferencia el origen, se tiene :
\( (x_1,y_1)\perp{(x_0,y_0)-(x_1,y_1)}\Rightarrow{x_1x_0-x_1^2+y_1y_0-y_1^2=0}\Rightarrow{x_1x_0+y_1y_0=r^2} \) Ec 1

De forma semejante para el segundo punto se tiene \( x_2x_0+y_2y_0=r^2 \) Ec 2

La recta determinada por los puntos de tangencia tiene como ecuación cartesiana \( \displaystyle\frac{x-x_2}{x_1-x_2}=\displaystyle\frac{y-y_2}{y_1-y_2}\Rightarrow{x-x_2=\displaystyle\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}} \ (y-y_2) \) Ec 3

 De  Ec 1 restando Ec 2 se tiene \( (x_1-x_2) x_0+(y_1-y_2)y_0=0 \)
De acá se obtiene \( \displaystyle\frac{(x_1-x_2)}{(y_1-y_2)}=\displaystyle\frac{-y_0}{x_0} \)  sustituyendo en la Ec 3 se obtiene :

\( x-x_2=\displaystyle\frac{-y_0}{x_0}(x-x_2)\Rightarrow{xx_0+yy_0=x_2x_0+y_2y_0=r^2} \) el último paso es usando  Ec 2.

Como reflexión ¿qué sucede en los casos que el punto exterior esta en el eje X o en el Y?

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Buen día a todos
Quisiera que alguien me ayude a demostrar una expresión en lo que es el tema de la circunferencia como lugar geométrico, no se me ocurre como demostrar la ecuación de la cuerda o recta de contacto, cuya definición que conozco es: la recta que se genera por la unión de los dos puntos de tangencia de la circunferencia a dos rectas trazadas desde un punto exterior en el plano. ayuden en el caso ...

Si no me equivoco..., otra forma puede ser...
Si \( P(x_0,y_0) \) es el punto exterior a la circunferencia de ecuación
\( x^2+y^2=R^2 \) y uno de los puntos de tangencia es \( A(a,b) \), se ha de cumplir que \( a^2+b^2=R^2 \).
Además, el vector que une el punto \( P \) con el punto \( A \) tiene que ser colineal al vector \( (-b,a) \), ya que la pendiente de la recta tangente a la circunferencia en el punto \( A \) es \( \dfrac{-a}{b} \).
Así, \( \dfrac{b-y_0}{a-x_0}=\dfrac{-a}{b}\Longrightarrow ax_0+by_0=R^2 \), que es la ecuación implícita de la recta de contacto, es decir, \( xx_0+yy_0-R^2=0 \). Si es \( y_0=0, |x_0|\geq R \) quedaría una recta vertical de ecuación \( x=\dfrac{R^2}{x_0} \) y si es \( x_0=0, |y_0|\geq R \) quedaría una recta horizontal de ecuación \( y=\dfrac{R^2}{y_0} \)
Saludos

[josvit]

Muchas gracias por su apoyo