[ferbad]

Hola amigos podrían ayudarme con el siguiente ejercicios. Muchas gracias
Yo lo hice con el teorema del seno y coseno pero quería saber como hacerlo trasladando el vector \( b \) al origen del vector \( a \)

Se le presenta una situación de vectores coplanares, donde le dan como datos los siguientes: \( r_1 \) = vector posición uno = 4,00 m; \( r \) = vector resultante de la suma entre los vectores \( r_1 \) y \( r_2 \), \( r_2= 8,52 m \); \( \beta = \) ángulo que se conforma entre el segundo vector y la resultante \( = 25^o \), y le piden determinar:

a) el valor del ángulo que se forma entre el vector \( r_1  \)y el resultante \( r \).
b) el valor del vector posición \( r_2 \).
c) el valor del ángulo conformado entre los vectores \( r_1 \) y \( r_2 \)

[ani_pascual]

Hola;

...

a) el valor del ángulo que se forma entre el vector r1 y el resultante r.
b) el valor del vector posición r2.
c) el valor del ángulo conformado entre los vectores r1 y r2
...

Si no me he equivocado en los cálculos...
Se tiene que \( r_1=4\hat{i}, \vec{r}=|r|(\cos\alpha \hat{i}+\sin\alpha \hat{j})=8,52(\cos\alpha \hat{i}+\sin\alpha \hat{j}), \vec{r_2}=|r_2|(\cos\theta \hat{i}+\sin\theta \hat{j}) \) donde es \( \theta=\alpha+\beta=\alpha+25^{\circ} \) el ángulo que forman \( r_2 \) y \( r_1 \).
Además, es \( \vec{r}=\vec{r_1}+\vec{r_2} \) luego \( 8,52(\cos\alpha \hat{i}+\sin\alpha \hat{j})=4\hat{i}+|r_2|(\cos\theta \hat{i}+\sin\theta \hat{j})\Longrightarrow  \left\{\begin{array}{l}8,52\cos\alpha=4+|r_2|\cos\theta\\8,52\sin\alpha=|r_2|\sin\theta\end{array}\right. \).
Por el teorema del seno es \( \dfrac{8,52}{\sin\theta}=\dfrac{4}{\sin 25^{\circ}}\Longrightarrow \sin\theta=\dfrac{8,52\sin 25^{\circ}}{4}\simeq 0,900 \) de donde \( \cos\theta=\dfrac{\sqrt{16-8,52^2\sin^225^{\circ}}}{4}\simeq 0,435 \).
Además, \( |r_2|^2\sin^2\theta+(4+|r_2|\cos\theta)^2=8,52^2 \) y resolviendo la ecuación de segundo grado … se llega a \( |r_2|=5,979 \) y como es \( \tan\alpha=\dfrac{|r_2|\sin\theta}{4+|r_2|\cos\theta}\Longrightarrow \alpha=39,18^{\circ} \)
Respecto a c) es \( \theta=\alpha+25^{\circ}=64,18^{\circ} \)
AÑADIDO:
El texto anterior en rojo está mal, ya que leí que el dato conocido era \( r=8,52 \) cuando en realidad es \( r_2=8,52 \). Lo siento. 
Así pues quedaría:
\( r_1=4\hat{i}, \vec{r_2}=8,52(\cos\theta \hat{i}+\sin\theta \hat{j}) \) donde es \( \theta=\alpha+\beta=\alpha+25^{\circ} \) el ángulo que forman \( r_2 \) y \( r_1 \).
Por el teorema del seno es \( \dfrac{8,52}{\sin\alpha}=\dfrac{4}{\sin 25^{\circ}}\Longrightarrow \sin\alpha=\dfrac{8,52\sin 25^{\circ}}{4}\simeq 0,900\stackrel{a)}{\Longrightarrow} \boxed{\alpha=64,18^{\circ}}\Longrightarrow \theta=64,18^{\circ}+25^{\circ}\stackrel{c)}{\Longleftrightarrow }\boxed{\theta=89,18^{\circ}} \)
Además, es \( \vec{r_2}=8,52(\cos\theta \hat{i}+\sin\theta \hat{j})=8,52(0,0143\hat{i}+0,9998\hat{j})\stackrel{b)}{\Longleftrightarrow} \boxed{\vec{r_2}=0,1219\hat{i}+8,519\hat{j}} \)
Saludos

[Masacroso]

Otra forma: observa que \( \cos \beta =\frac{r}{\|r\|}\cdot \frac{r_2}{\|r_2\|} \) donde \( r=r_1+r_2 \) y \( r_1=(\|r_1\|,0) \) usando coordenadas cartesianas, entonces despejando tenemos que

\[
r_{2,1}=\frac{\|r\|\cdot \|r_2\|}{\|r_1\|}\left(\cos \beta -\frac{\|r_2\|}{\|r\|}\right),\text{ donde }r_2=(r_{2,1},r_{2,2})\tag1
\]

De ahí podemos obtener el valor de \( r_{2,1} \) y, utilizando el teorema de Pitágoras, obtener también \( r_{2,2} \), teniendo por tanto las coordenadas de \( r_1 \), \( r_2 \) y por tanto también de \( r \), lo que nos permite ahora obtener los datos que nos piden.


Añadido: otra manera sería la siguiente: como los ángulos de un triángulo siempre suman hasta \( \pi  \) radianes entonces se tiene que \( \alpha +\beta +\pi-\phi =\pi \), luego \( \phi =\alpha +\beta  \) y por tanto usando notación compleja para vectores en el plano tenemos que

\[
\begin{align*}
r&=\|r\|e^{i\alpha }=\|r_1\|e^{i0}+\|r_2\|e^{i\phi }=\|r_1\|+\|r_2\|e^{i(\alpha +\beta )}\\
\therefore\quad e^{i\alpha }&=\frac{\|r_1\|}{\|r\|-\|r_2\|e^{i\beta }}\tag2
\end{align*}
\]

Teniendo el vector director de \( r \) ya podemos hallar fácilmente lo que queramos.

Corrección: ambos cálculos están incompletos, no sé por qué pero había asumido que \( \|r\| \) era un valor conocido, pero viendo de nuevo el enunciado veo que no es así. Para hallar \( \|r\| \) podemos ver que

\[
\|r\|^2=\|r_1\|^2+\|r_2\|^2+2r_1\cdot r_2=\|r_1\|^2+\|r_2\|^2+2\|r_1\|r_{2,1}\implies r_{2,1}=\frac{\|r\|^2-\|r_1\|^2-\|r_2\|^2}{2\|r_1\|}
\]

Al igualar a (1) nos queda \( \|r\|^2=\|r_1\|^2+2\|r\|\|r_2\|\cos \beta -\|r_2\|^2 \) que es una ecuación cuadrática en \( \|r\| \) de donde podemos despejar finalmente el valor de \( \|r\| \). Para poder usar (2) tendríamos que hacer algo similar, podemos partir de

\[
e^{i\alpha }=\frac{\|r_1\|+\|r_2\|e^{i(\alpha +\beta )}}{\|r\|}
\]

y usar que \( \|r\|^2=\|r_1\|^2+\|r_2\|^2+2r_1\cdot r_2 \) donde \( r_1\cdot r_2=\|r_1\|\|r_2\| \operatorname{Re}(e^{i0}\cdot e^{-i(\alpha +\beta )})=\|r_1\|\|r_2\|\cos (\alpha +\beta ) \) en el contexto de la segunda vía propuesta, pero el cálculo se vuelve engorroso.

[Richard R Richard]

quería saber como hacerlo trasladando el vector \( b \) al origen del vector \( a \)

Trasladar al origen el vector $$\vec r_2$$ es hacer que este vector tenga su punto inicio justamente en el $$(0,0)$$
Si te fijas ese vector termina o apunta donde $$\vec r$$ tambien apunta o termina , pero  inicia donde $$r_1$$ termina así que hay que trasladar el inicio de $$r_2$$ al $$(0,0)$$ esa distancia es jutamente  la longitud de $$\vec r_1$$ , luego

$$\vec r_2=\vec r - \vec r_1$$ 

luego lo que queda es igualar por componentes armando un sistema de 2x2 con los datos que tienes

$$r_{2i}=r_i-r_{1i}= |r_2|\cos \theta=|r|\cos \alpha-r_1\cos 0$$  Ec 1

$$r_{2j}=r_j-r_{1j}=|r_2|\sin \theta=|r|\sin \alpha-r_1\sin 0 $$  Ec 2

pero para hallar el ángulo $$\alpha$$ vas a tener a que usar inevitablemente  el teorema del seno  $$\dfrac{\sin\alpha}{|r_2|}=\dfrac{\sin\beta}{|r_1|}$$  y que $$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$$

seguramente te quede una ecuación cuadrática para despejar y calcular por este método, además de dividir la Ec2 por la Ec 1 para despejar la tangente de $$\theta$$ y de allí el ángulo $$\theta$$.

[Abdulai]

\( r_1 = 4,00 m \)
\( r = ? \)
\( r_2= 8,52 m \)
\( \beta =  25^o \)



a) el valor del ángulo que se forma entre el vector r1 y el resultante r.
Hallar \( \alpha \)
Por teorema del seno:  \( \dfrac{r_2}{\sin\alpha}=\dfrac{r_1}{\sin\beta}\;\;\longrightarrow\;\;\sin\alpha=\sin\beta\,\dfrac{r_2}{r_1}=\textcolor{red}{\dfrac{4}{8.52}}\sin 25° = 0.9 \;\;\longrightarrow\;\;\alpha = 64.18° \)       ;    Debe ser \( \dfrac{8.52}{4} \)

Mejor primero el ítem c)
c) el valor del ángulo conformado entre los vectores r1 y r2
\( \theta = \alpha+\beta = 64.18°+25°=89.18° \)

b) el valor del vector posición r2.
\( \vec{r_2}=r_2[\cos\theta,\sin\theta]= [0.122,8.519] \)

[ani_pascual]

Hola:

r1 = 4,00 m
r = ?
𝑟2= 8,52 m
β =  25°
...
Por teorema del seno:  \( \dfrac{r_2}{\sin\alpha}=\dfrac{r_1}{\sin\beta}\;\;\longrightarrow\\\;\;\sin\alpha=\sin\beta\,\dfrac{r_2}{r_1}=\dfrac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{red}{8.52}}\sin 25° = 0.9 \;\;\longrightarrow\;\;\alpha = 64.18° \)
...

Pero \( r_2 \) no se conoce ¿no?
Creo que sería
\( \dfrac{r}{\sin(180^{\circ}-\phi)}=\dfrac{r_1}{\sin 25^{\circ}}\Longrightarrow\\ \sin(180^{\circ}-\phi)=\dfrac{8,52\cdot\sin 25^{\circ}}{4}\Longrightarrow \phi=64,18^{\circ} \)
Saludos

[Abdulai]

Pero \( r_2 \) no se conoce ¿no?

Si, el que no se conoce es \( r \).

Creo que sería
\( \dfrac{r}{\sin(180^{\circ}-\phi)}=\dfrac{r_1}{\sin 25^{\circ}}\Longrightarrow\\ \sin(180^{\circ}-\phi)=\dfrac{8,52\cdot\sin 25^{\circ}}{4}\Longrightarrow \phi=64,18^{\circ} \)

Hasta este punto desconoces \( r \) y \( \theta \) y luego usas 8.52 que es el valor de \( r_2 \).

Ah!  vi el error    escribí al revés  \( \dfrac{4}{8.52} \)  aunque el cálculo lo hice con \( \dfrac{8.52}{4} \) 
Gracias.

[ani_pascual]

Hola:

Pero \( r_2 \) no se conoce ¿no?

Si, el que no se conoce es \( r \).

Lo leí mal 

Creo que sería
\( \dfrac{r}{\sin(180^{\circ}-\phi)}=\dfrac{r_1}{\sin 25^{\circ}}\Longrightarrow\\ \sin(180^{\circ}-\phi)=\dfrac{8,52\cdot\sin 25^{\circ}}{4}\Longrightarrow \phi=64,18^{\circ} \)

Hasta este punto desconoces \( r \) y \( \theta \) y luego usas 8.52 que es el valor de \( r_2 \).

Sí, entiendo; operé como si se conociera \( r \) en vez de \( r_2 \);    Ya lo he corregido.  Gracias

Ah!  vi el error    escribí al revés  \( \dfrac{4}{8.52} \)  aunque el cálculo lo hice con \( \dfrac{8.52}{4} \) 
...

Parece que cometí más errores yo 
Saludos

[ferbad]

Muchas gracias a todos