[RH]

Por curiosidad me dio por probar esta relación, para los primeros números primos.

\( c_p = \frac{\sum_{k=1}^{n} \ln(p_k)}{p_n}\simeq 1 \)

[Richard R Richard]

$$\pi(x) =100 \to x= 541 \to \sum(log x_i)/x= 0.9349653107689634$$
$$\pi(x) =1000 \to x= 7919 \to \sum(log x_i)/x= 0.9865239980720848$$
$$\pi(x) =10000 \to x= 104729 \to \sum(log x_i)/x= 0.9967841000663585$$
$$\pi(x) =100000 \to x= 1299709 \to \sum(log x_i)/x= 0.9990501200939632$$
$$\pi(x) =1000000 \to x= 15485863 \to \sum(log x_i)/x= 0.9996109110072476$$
$$\pi(x) =10000000 \to x= 179424673 \to \sum(log x_i)/x= 0.999958627539819$$


 Parece que sí

[Juan Pablo Sancho]

Por si sirve:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=4747.msg20597#msg20597

[RH]

Curioso parece que se aproxima cada vez más a 1...

Además, probando, también parece que esta expresión lo hace igual:

\( \text{cp} = \operatorname{Re} \left( \frac{1}{p} \cdot \sum_{i=1}^{n} \ln(-p_i) \right)\simeq 1 \)

Juan Pablo Sancho, cierto, ahí está la expresión. Gracias.

[Juan Pablo Sancho]

Es la misma expresión sólo que aplica logaritmo:
\( \displaystyle \log(\sqrt[P_n]{P_1 \cdot P_2 \cdots P_n}) = \dfrac{\log(P_1) + \cdots + \log(P_n)}{P_n}  \)
No sé si puede ayudar la cota:
\( \dfrac{n \cdot \log(n)}{6} \leq P_n < 12 \cdot (n \cdot \log(n) + n \cdot \log(12/e))  \)

[RH]

He probado en vez de con los números primos, con los números naturales, y da una divergencia.
He probado cambiando el factor de los números primos, multiplicando de forma lineal altera la convergencia lo suficiente hacia 0. De forma exponencial se aprecia enseguida hacia 0.

He probado cambiado la base del logaritmo, y da convergencia en relación al cambio de base con el número e.

La cota de Juan Pablo Sancho parece un poco holgada si no he calculado mal... habría que verlo mejor.

A ver que opináis los expertos, de todas maneras parece demasiada casualidad, porque según los cálculos de Richard R Richard apunta una convergencia a 1.

Parece que no tiene relación aparente con ningún teorema de los números primos conocidos.

 

Añado:

http://numerosprimos.net/  del hilo de Sebastián Martín Ruiz.

[Richard R Richard]

Parece que no tiene relación aparente con ningún teorema de los números primos conocidos.

No soy experto,  ni me quiero hacer cargo,  pero me parece que no has visto esto en el hilo que Juan Pablo te recomendó

Por cierto a ver que os parece este limite:
\( \displaystyle\lim_{n \to+\infty}{\sqrt[p_n ]{p_1\cdot p_2\cdot...p_n}}=e \)
\( p_i= \) iésimo número primo

Si aplicas logaritmo  a ambos términos

\( \ln\left(\displaystyle\lim_{n \to+\infty}{\sqrt[p_n ]{p_1\cdot p_2\cdot...p_n}}\right)=\ln e =1 \)

\( \ln\left(\displaystyle\lim_{n \to+\infty}{({p_1\cdot p_2\cdot...p_n})^{1/p_n}}\right)=1 \)

por propiedades del logaritmo

\( \left(\displaystyle\lim_{n \to+\infty}{\dfrac{1}{p_n}\ln({p_1\cdot p_2\cdot...p_n})}\right)=1 \)

\( \displaystyle\lim_{n \to+\infty}\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n\ln(p_i)}{p_n}=1 \) cqd


Saludos

[RH]

Es curioso, 

\( \text{cp} = \operatorname{Re} \left( \frac{1}{p} \cdot \sum_{i=1}^{n} \ln(-p_i) \right)\simeq 1 \)

¿Pero esta expresión está calculada también?

[Richard R Richard]

Es curioso, 

\( \text{cp} = \operatorname{Re} \left( \frac{1}{p} \cdot \sum_{i=1}^{n} \ln(-p_i) \right)\simeq 1 \)

¿Pero esta expresión está calculada también?

El logaritmo de un número negativo no está definido en los reales, si vas a los complejos el $$\ln(-1)=\pi \ i$$

\( \text{cp} = \operatorname{Re} \left( \frac{1}{p} \cdot \sum_{i=1}^{n} \ln(-1)+\ln(p_i) \right)= \operatorname{Re}\left(\frac{1}{p} \cdot \sum_{i=1}^{n} \ln(-1)+\frac{1}{p} \cdot \sum_{i=1}^{n} \ln(p_i)\right) = \operatorname{Re}(\dfrac {\pi_{(n)}\pi}{p_n} \ i+\overbrace{1}^{resultado\ anterior}) \to\operatorname{Re}(1+\dfrac{\pi}{\ln(p_n)} \ i)= 1 \)   corregido

[RH]

Es verdad.