Conjetura: Sea \( p_n \) el enésimo número primo, la función \( f(n) = 2p_{n+1} - (p_n + p_{n+2}) \) tiene infinitos ceros.
Es una mezcla de conjeturas si hay un cero, se cumple que la diferencia $$p_{n+1}-p_n=p_{n+2}-p_{n+1}$$ es decir que debe haber dos gaps seguidos iguales en tamaño, para cualquier tamaño.
Gaps de ese estilo se dan por ejemplo antes y después de los factoriales o primoriales de algún número $$m$$, y de sus múltiplos habiendo infinitos múltiplos es posible que en algún caso para ese número $$k$$ ,el número anterior $$k-1$$ o el posterior $$k+1$$ al (no ambos a la vez, sino habría primos gemelos) uno sea primo , entonces por encima y por debajo de ese primo el gap puede ser tan grande como se quiera y es muy probable puedan coincidir en tamaño, aunque no siempre coinciden.
Diría que es cierta
Yo opino lo mismo sobre cualquiera que fije distancia entre primos, sean entre $$2 , 3 , n,$$... si aumenta $$n$$ son mas dispersos, pero entre infinita cantidad, siempre habrá infinitos, cualquier duda a la veracidad, la basan en que la densidad de primos disminuye, disminuye si claro, pero nunca será nula, demostrado está.
lo que si es que los tripletes no suceden para cualquier distancia $$2n$$ , sino que $$3,5,7$$ debe ser el único triplete (no lo he probado, pero se ve enseguida, (sería buena conjetura, pero ya se que no lo es)), el resto están separados a distancia $$6n$$ ya que los primos son de la forma $$6k+1$$ o $$6k-1$$ , su diferencia de apares puede ser distinta de múltiplo de 6, pero la diferencia igual entre tres seguidos si obliga a que el triplete tenga diferencia múltiplo de 6 , así que no hay tripletes a distancia par que no sea múltiplo de 6, es decir a distancia $$4,8,10,14,16...$$.
Lo puedes ver en esta muestra
Primer triplete de Gap tamaño 2 es [3,5,7]Primer triplete de Gap tamaño 6 es [ 47 , 53 , 59 ]
Primer triplete de Gap tamaño 12 es [ 199 , 211 , 223 ]
Primer triplete de Gap tamaño 24 es [ 16763 , 16787 , 16811 ]
Primer triplete de Gap tamaño 18 es [ 20183 , 20201 , 20219 ]
Primer triplete de Gap tamaño 30 es [ 69593 , 69623 , 69653 ]
Primer triplete de Gap tamaño 42 es [ 247099 , 247141 , 247183 ]
Primer triplete de Gap tamaño 36 es [ 255767 , 255803 , 255839 ]
Primer triplete de Gap tamaño 48 es [ 3565931 , 3565979 , 3566027 ]
Primer triplete de Gap tamaño 60 es [ 4911251 , 4911311 , 4911371 ]
Primer triplete de Gap tamaño 54 es [ 6314393 , 6314447 , 6314501 ]
Primer triplete de Gap tamaño 66 es [ 12012677 , 12012743 , 12012809 ]
Primer triplete de Gap tamaño 72 es [ 23346737 , 23346809 , 23346881 ]
Primer triplete de Gap tamaño 84 es [ 34346203 , 34346287 , 34346371 ]
Primer triplete de Gap tamaño 90 es [ 36598517 , 36598607 , 36598697 ]
Primer triplete de Gap tamaño 78 es [ 43607351 , 43607429 , 43607507 ]
Primer triplete de Gap tamaño 96 es [ 51041957 , 51042053 , 51042149 ]
Primer triplete de Gap tamaño 144 es [ 383204539 , 383204683 , 383204827 ]
Primer triplete de Gap tamaño 102 es [ 460475467 , 460475569 , 460475671 ]
Primer triplete de Gap tamaño 120 es [ 530324329 , 530324449 , 530324569 ]
Primer triplete de Gap tamaño 108 es [ 652576321 , 652576429 , 652576537 ]
Primer triplete de Gap tamaño 114 es [ 742585183 , 742585297 , 742585411 ]
Primer triplete de Gap tamaño 126 es [ 807620651 , 807620777 , 807620903 ]
codigo
import math as m
import sympy as s
ante=3
ul=5
p=7
ns=[2]
for n in range(3,10000000000):
impar=2*n+1
if s.isprime(impar):
if impar-ul==ul-ante:
if impar-ul not in ns:
ns.append(impar-ul)
print ("Primer triplete de Gap tamaño ",impar-ul, "es [",ante,",",ul,",",impar,"]")
ante=ul
ul=impar
Saludos
