Hola:
Pruebe usando inducción que \( 2F_{m+n}=F_mL_n + F_nL_m \), para todo \( m,n\in \mathbb{N}. \)
La propiedad se cumple si es \( m=1 \) y \( n\in\mathbb{N} \) arbitrario, ya que
\( 2F_{1+n}\stackrel{(\ast)}{=}2(L_n-F_{n-1})=L_n+L_n-F_{n-1}-F_{n-1}=F_1L_n+F_{n+1}-F_{n-1}=F_1L_n+F_nL_1 \),
Supongamos que la propiedad se cumple para \( 1\leq k\leq m \) y veamos que entonces se cumple para \( m+1 \), siendo \( n\in\mathbb{N} \) arbitrario.
\( 2F_{m+1+n}=2(F_{m+n}+F_{m+n-1})=2F_{m+n}+2F_{m+n-1}=F_mL_n+F_nL_m+F_{m-1}L_n+F_nL_{m-1}=(F_m+F_{m-1})L_n+F_n(L_m+L_{m-1})=F_{m+1}L_n+F_nL_{m+1} \)
\( (\ast) \) Se usa la propiedad ya probada en un mensaje anterior \( L_n=F_{n-1}+F_{n+1} \)
Saludos
