[Nub]

Hola, tengo un ejercicio ya resuelto que pregunta lo del titulo, \( f(x,y)=ln(x+y/x^2) \) ¿Existen las derivadas parciales? si es asi calcularlas y la solucion dada es algo asi:
- \( x \) es derivable
- \( y \) es derivable
- \( x^2 \) derivable luego \( y/x^2 \) derivable (cociente de derivables)
- \( x+y/x \) es derivable (suma de derivables)
- \( ln(x+y/x^2) \) es derivable (composición de derivables)

Luego procede a calcular las derivadas parciales \( dx(ln(x+y/x^{2})=(ln(x+y/x^{2}))^{'} \) con \( y \) cte y \( dy(ln(x+y/x^2) \) analogo.

La pregunta es: ¿Que significa derivable en \( \mathbb{R^n}  \) porque justo las funciones que dice ser derivables son de \( \mathbb{R^2->R} \) no quiere decir diferenciable? pues si es diferenciable hay un teorema que dice que es continua que existen sus derivadas parciales y direccionales. Probablente quiere decir eso... ¿no?

Tambien tengo otro ejercicio que usa el mismo razonamiento:

Estudiar la continuidad de lafuncion y la existencia de las derivadas direccionales
\( f(x, y) =
\begin{cases}
xy \sin\left(\frac{1}{x}\right) \cos\left(\frac{1}{y}\right) & \text{si } xy \neq 0, \\
a & \text{si } xy = 0.
\end{cases} \)

Ignorando la parte de continuidad, cuando llega a las existencia de las derivadas direcionales, dice en \( \left\{{(x,y)/xy\neq0}\right\} \) que es derivable con el argumento anterior... luego se concentra en los puntos donde xy=0, pero ahi ya no importa porque usa la definición

[ani_pascual]

Hola:

...

La pregunta es: ¿Que significa derivable en \( \mathbb{R^n}  \) porque justo las funciones que dice ser derivables son de \( \mathbb{R^2->R} \) no quiere decir diferenciable? pues si es diferenciable hay un teorema que dice que es continua que existen sus derivadas parciales y direccionales. Probablente quiere decir eso... ¿no?
...

Si no recuerdo mal...
Una función \( f:D\subset \mathbb{R}^n\longrightarrow R \) es derivable en \( x_0\in D \) si existen las derivadas parciales en el punto, i.e., si exste \( \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+he_j)-f(x_0)}{h}, \,\forall\,j=1,\ldots, n \) donde es \( x_0=(x_{01},\ldots, x_{0n})\in D\subset\mathbb{R}^n \) y \( e_j=(0,\ldots,0,\stackrel{j}{\overbrace{1}},0,\ldots,0) \) es el vector canónico en la dirección \( j \)-ésima.
Si la función \( f \) es diferenciable en \( x_0 \) entonces es derivable, pero el recíproco no es cierto. Ahora bien, si es derivable (existen las derivadas parciales en el punto) y éstas son continuas en un entorno del punto, entonces la función es diferenciable en dicho punto.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, tengo un ejercicio ya resuelto que pregunta lo del titulo, \( f(x,y)=ln(x+y/x^2) \) ¿Existen las derivadas parciales? si es asi calcularlas y la solucion dada es algo asi:
- \( x \) es derivable
- \( y \) es derivable
- \( x^2 \) derivable luego \( y/x^2 \) derivable (cociente de derivables)
- \( x+y/x \) es derivable (suma de derivables)
- \( ln(x+y/x^2) \) es derivable (composición de derivables)

Luego procede a calcular las derivadas parciales \( dx(ln(x+y/x^{2})=(ln(x+y/x^{2}))^{'} \) con \( y \) cte y \( dy(ln(x+y/x^2) \) analogo.

Si; está usando derivable como diferenciable.

Saludos.

CORREGIDO. Véanse los mensajes siguientes.

[Carlos Ivorra]

Si; está usando derivable como diferenciable.

¿Llama derivables a las funciones diferenciables o llama derivables a las funciones con derivadas parciales? En este contexto es indistinguible, pero en otros se podría notar la diferencia. Por otro lado, si el problema pregunta si existen las derivadas parciales y en la solución habla de funciones derivables, es plausible que se refiera a las funciones con derivadas parciales.

[Luis Fuentes]

Hola

Si; está usando derivable como diferenciable.

¿Llama derivables a las funciones diferenciables o llama derivables a las funciones con derivadas parciales? En este contexto es indistinguible, pero en otros se podría notar la diferencia. Por otro lado, si el problema pregunta si existen las derivadas parciales y en la solución habla de funciones derivables, es plausible que se refiera a las funciones con derivadas parciales.

Si, tienes razón. No me fijé en detalle en que le pedían estudiar la existencia de derivadas parciales. Si es en ese contexto y hablan en la respuesta de "derivables" es más lógico a que por derivables se refieran a funciones con derivadas parciales.

Saludos.

[Nub]

El problema es que nunca defini que es "derivable" para funciones de \( \mathbb{R^2\rightarrow{\mathbb{R}}} \) pero si defini diferenciable y que suma,producto,etc de diferenciales son diferenciales, derivable solo lo he definido en funciones de \( \mathbb{R\rightarrow{\mathbb{R}}} \) Entonces, si digo funcion derivable es toda funcion que existan sus derivadas parciales, tendría que probar que suma.producto,etc de derivables (\( \mathbb{R^2\rightarrow{\mathbb{R}}} \)) son derivables

[Luis Fuentes]

Hola

El problema es que nunca defini que es "derivable" para funciones de \( \mathbb{R^2\rightarrow{\mathbb{R}}} \) pero si defini diferenciable y que suma,producto,etc de diferenciales son diferenciales, derivable solo lo he definido en funciones de \( \mathbb{R\rightarrow{\mathbb{R}}} \) Entonces, si digo funcion derivable es toda funcion que existan sus derivadas parciales, tendría que probar que suma.producto,etc de derivables (\( \mathbb{R^2\rightarrow{\mathbb{R}}} \)) son derivables

Pues en el contexto que te indicamos derivable en un punto sería que existen todas las derivadas parciales en ese punto.

Dado que las parciales consisten en considera fijas todas las variables menos una, y derivar en esa variable. Todos los resultados que has visto en una variable automáticamente pueden aplicarse.

Dado que en una variable sabes que la suma, producto, resta, bla bla de derivable es derivable eso se hereda automáticamente para las derivadas parciales (considerando todas las variables menos aquella respecto a la cuál derivas como constantes).

Saludos.

[Nub]

Hola

El problema es que nunca defini que es "derivable" para funciones de \( \mathbb{R^2\rightarrow{\mathbb{R}}} \) pero si defini diferenciable y que suma,producto,etc de diferenciales son diferenciales, derivable solo lo he definido en funciones de \( \mathbb{R\rightarrow{\mathbb{R}}} \) Entonces, si digo funcion derivable es toda funcion que existan sus derivadas parciales, tendría que probar que suma.producto,etc de derivables (\( \mathbb{R^2\rightarrow{\mathbb{R}}} \)) son derivables

Pues en el contexto que te indicamos derivable en un punto sería que existen todas las derivadas parciales en ese punto.

Dado que las parciales consisten en considera fijas todas las variables menos una, y derivar en esa variable. Todos los resultados que has visto en una variable automáticamente pueden aplicarse.

Dado que en una variable sabes que la suma, producto, resta, bla bla de derivable es derivable eso se hereda automáticamente para las derivadas parciales (considerando todas las variables menos aquella respecto a la cuál derivas como constantes).

Saludos.

Tiene sentido, gracias a todos