Hola
Adjunto imagen
Muchas gracias...
En el triángulo rectángulo grande llamamos:
\( a=BC,\quad b=AC,\quad c=AB \)
(a cada lado con el nombre del vértice opuesto en minúscula).
En primer lugar fíjate que los triángulos rectángulos \( AHB \) y \( BHC \) son semejantes al grande \( ABC \) con razón de semejanza (basada el el cociente de hipotenusas) \( c/b \) y \( a/b \) respectivamente.
De donde:
\( r_1=r\cdot \dfrac{c}{b},\quad r_2=r\cdot \dfrac{a}{b} \)
y:
\( r_1^2+r_2^2=r^2\left(\dfrac{c^2}{b^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\right)=r^2\left(\dfrac{c^2+a^2}{b^2}\right)=r^2\left(\dfrac{b^2}{b^2}\right)=r^2 \)
Por otra parte en cualquier triángulo rectángulo:
\( r=p-b \)
donde \( p \) es el semiperímetro y \( b \) la hipotenusa.
De hecho en general en un triángulo la distancia del punto de tangencia del círculo inscrito sobre un lado al vértice es \( p-l \) siendo \( p \) el semiperímetro y \( l \) el lado opuesto al vértice.
Entonces:
\( HT=AT-AH=p-a-\dfrac{c^2}{b}=\dfrac{b(p-a)-c^2}{b}=\dfrac{b(b+c-a)-2c^2}{2b}=\dfrac{b^2+b(c-a)-2c^2}{2b}=\\\qquad\qquad =\dfrac{a^2-c^2+b(c-a)}{2b}=\dfrac{(a-c)(a+c-b)}{2b}=\dfrac{(a-c)(p-b)}{b} \)
y
\( r_2-r_1=r\left(\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{b}\right)=\dfrac{r(a-c)}{b}=\dfrac{(p-b)(a-c)}{b} \).
Saludos.
