[Nub]

Hola, \( \displaystyle\int_{1}^{e}\displaystyle\int_{0}^{ln(x)}f(x,y)dydx \) tengo que invertir los extremos de integración, ya lo hice dibujando el dominio y recorriendo de forma dxdy y me quedo \( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{e}^{e^y}f(x,y)dxdy \) pero no me gusta dibujar y busque en internet, encontre esto que dice hacerlo de forma algebraica:
https://www.grupoalianzaempresarial.biz/miguelangelvargascruz/f/universitam_04_calculo3_2023-08-05_unidad2actividad4cambioenelordendeintegracionparaintegralesdobles.pdf
y siguendo ese pdf me queda \( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{e^y}f(x,y)dxdy \)

¿Esta mal el pdf ese?

[delmar]

Hola

Lo que dice el link es correcto y usar un dibujo de la region ayuda. En este caso poniendo la region R en terminos de y se tiene :

\( R=\left\{{(x , y) \ \ / \ \ e^y\leq{x}\leq{e} \wedge 0\leq{y}\leq{1}}\right\} \)

Saludos

Nota : disculpar escritura estoy usando celular

[Masacroso]

Hola, \( \displaystyle\int_{1}^{e}\displaystyle\int_{0}^{ln(x)}f(x,y)dydx \) tengo que invertir los extremos de integración, ya lo hice dibujando el dominio y recorriendo de forma dxdy y me quedo \( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{e}^{e^y}f(x,y)dxdy \) pero no me gusta dibujar y busque en internet, encontre esto que dice hacerlo de forma algebraica:
https://www.grupoalianzaempresarial.biz/miguelangelvargascruz/f/universitam_04_calculo3_2023-08-05_unidad2actividad4cambioenelordendeintegracionparaintegralesdobles.pdf
y siguendo ese pdf me queda \( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{e^y}f(x,y)dxdy \)

¿Esta mal el pdf ese?

Hay un error en tu solución, en la primera hay que cambiar el orden en la segunda integral, y en la última en vez de \( \int_{0}^{e^y} \) debe ser \( \int_{e^y}^e \). Si te sirve, yo suelo usar los corchetes de Iverson para estas tareas, son muy útiles:

https://es.wikipedia.org/wiki/Corchete_de_Iverson

El tal corchete de Iverson me resulta una herramienta utilísima para todas las ramas de las matemáticas, es muy práctica y de notación muy conveniente y sencilla, generaliza las funciones indicatrices de conjuntos y otro tipo de funciones en un único concepto. Por ejemplo, en tu caso

\[
\begin{align*}
\int_{[1,e]} \int_{[0,\ln x]}f(x,y)\,d ydx&=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}[1\leqslant x\leqslant e][0\leqslant y\leqslant \ln x]f(y,x)\,d y\,dx\\
&=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}[\ln 1\leqslant \ln x\leqslant \ln e][0\leqslant y\leqslant \ln x]f(y,x)\,d y\,dx\\
&=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}[0\leqslant y \leqslant \ln x\leqslant 1]f(y,x)\,d y\,dx\\
&=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}[0\leqslant y\leqslant 1][y\leqslant \ln x\leqslant 1]f(y,x)\,d y\,dx\\
&=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}[0\leqslant y\leqslant 1][e^y\leqslant x\leqslant e]f(y,x)\,d x\,dy\\
&=\int_{[0,1]}\int_{[e^y,e]}f(y,x)\,d x\,dy\\
\end{align*}
\]

[ani_pascual]

Hola:
... y en la notación inicial de Nub sería \( \displaystyle\int_0^1\displaystyle\int_{e^y}^ef(x,y)\,dx\,dy \) ¿no?
Saludos

[Nub]

Hola

Lo que dice el link es correcto y usar un dibujo de la region ayuda. En este caso poniendo la region R en terminos de y se tiene :

\( R=\left\{{(x , y) \ \ / \ \ e^y\leq{x}\leq{e} \wedge 0\leq{y}\leq{1}}\right\} \)

Saludos

Nota : disculpar escritura estoy usando celular

Si, con un dibujo puedo hallar lo que tu hiciste, pero sin dibujo no, es decir lo que yo hago es dibujar el dominio inicial y luego interpretarlo que es basicamente: "de donde se mueve y" y luego "dado un y fijo, de donde se mueve x" y ahi lo saco, pero de forma algebraica no se, a lo sumo podria iguar todo a y, despejar y que quede x en funcion de y, pero por ejemplo los extremos de la integral de afuera no se como calcularlos (Con lo que dice el PDF si se pero ya viste que me quedo mal)

Hay un error en tu solución, en la primera hay que cambiar el orden en la segunda integral, y en la última en vez de \( \int_{0}^{e^y} \) debe ser \( \int_{e^y}^e \).

Si, me confundí era al revés en la primera integral doble, pero obviamente la ultima integral doble fue la que tengo el problema, pero el PDF ese no dice nada, por eso deje el 0 en vez de poner \( e \), se que ahi va \( e \) por la solucion "grafica" que hice antes, pero no se porque va en esta solucion algebraica, es decir el pdf no dice nada ahi

Hola:
... y en la notación inicial de Nub sería \( \displaystyle\int_0^1\displaystyle\int_{e^y}^ef(x,y)\,dx\,dy \) ¿no?
Saludos

Si, y quiero pasar a algo \( \displaystyle\int_a^b\displaystyle\int_{c}^df(x,y)\,dy\,dx \) es decirf encontrar eso \( a,b,c \) y \( d \)

[Luis Fuentes]

Hola

Si, y quiero pasar a algo \( \displaystyle\int_a^b\displaystyle\int_{c}^df(x,y)\,dy\,dx \) es decirf encontrar eso \( a,b,c \) y \( d \)

No se muy bien que quieres decir con eso. Si por \( a,b,c,d \) denotas constantes, eso sólo puede hacerse si la región de integración es un rectángulo (o bien con un cambio de variable; p alguna modificación de \( f(x,y) \) pero eso sería otra historia).

Analíticamente si partes de:

\( \displaystyle\int_{1}^{e}\displaystyle\int_{0}^{ln(x)}f(x,y)dydx \)

Tienes:

\( 1\leq x\leq e \)
\( 0\leq y\leq ln(x) \)

Entonces las cotas máximas y mínimas de \( y \) son:

\( 0\leq y\leq ln(x)\leq ln(e)=1 \) es decir \( 0\leq y\leq 1 \)

Por otra parte de \( y\leq ln(x) \) se tiene \( e^y\leq x \)

Y como límite superior de \( x \) teníamos \( x\leq e \). Queda entonces:

\( 0\leq y\leq 1 \)
\( e^y\leq x\leq \color{red}e\color{black} \)

es decir:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{e^y}^{\color{red}e\color{black}}f(x,y)dxdy \)

Saludos.

CORREGIDO

[Nub]

Y como límite superior de \( x \) teníamos \( x\leq 1 \). Queda entonces:

\( 0\leq y\leq 1 \)
\( e^y\leq x\leq 1 \)

es decir:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{e^y}^{1}f(x,y)dxdy \)

Saludos.

Creo que esta mal, teníamos \( x\geq{}1 \) no te sirve, te sirve que\(  x\leq{e} \) y luego queda \( e^y\leq x\leq{e} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Creo que esta mal, teníamos \( x\geq{}1 \) no te sirve, te sirve que\(  x\leq{e} \) y luego queda \( e^y\leq x\leq{e} \)

Obviamente era una errata. Lo que teníamos de límite superior de \( x \) era \( x\leq e \). Así que donde puse \( 1 \), obviamente quería poner \( e \).

Gracias.

Saludos.

[Nub]

Gracias a todos