Hola
A ver si me pueden aclarar algo mas , el argumento que todo primo $$p$$ mayor a 3 puede escribir como $$p=\sqrt{24n+1}$$ para algún $$n$$ en los naturales, y que tal lista resulta exhaustiva (no omite ninguno) , no podría entonces tomarse como suficiente justificación para decir que los números primos son infinitos, ¿o sí? , ¿o necesariamente debería probar que hay una biyección con los naturales?
Es que no tiene nada que ver con que sean infinitos. Realmente lo que se prueba es que todo número que no es divisible ni por \( 2 \), ni por \( 3 \) puede obtenerse como \( \sqrt{24n+1} \) para algún \( n \) natural. Pero esto no dice nada ni a favor ni en contra de que si en esa lista de números que se obtienen de otra forma hay infinitos con la propiedad adicional de sólo ser divisibles por si mismo y por la unidad (es decir, primos) o no.
Yo que sé. También es cierto que noto número primo mayor que dos puede obtenerse como \( 2n+1 \) para algún \( n \) natural. Pero eso no dice nada ni a favor ni en contra de si hay o no números primos.
Es decir que tengas una fórmula que da como resultado todos los primos y también algunos no primos, no dice nada en principio a favor o en contra de si hay o no infinitos primos.
Esto me surge pues si los números primos gemelos son de la forma $$6n-1,6n+1$$ y es claro que los incremento de $$n$$ en una unidad producen también una lista exhaustiva, no entiendo porque se dice que no se sabe si los primos gemelos son infinitos o no.
Porque de ahí no se concluye en absoluto si hay o no infinitos primos. Lo único que sabemos es que todo número primo puede escribirse de la forma \( 6n\pm 1 \), pero eso no dice nada:
- ni a favor ni en contra de si hay o no infinitos primos.
- ni a favor ni en contra de su hay o no infinitos primos gemelos.
Si llamo $$\Pi=\prod\limits_{i=1}^n p_i$$ con $$n$$ finito donde cada $$p_i$$ es un primo diferente creciente entonces existe el par $$6\Pi-1,6\Pi+1$$ y se demuestra por contradicción que el conjunto de los primos gemelos es infinito.
Utilizando los mismos argumentos que Euler para demostrar que el conjunto de los primos son infinitos.
No está bien tu argumento; o más bien no se concluye en absoluto que hay infinitos primos gemelos.
Veámoslo:
Si la lista de primos gemelos fuese finita con $$n$$ elementos
Aquí entiendo que partes de suponer que hay una lista FINITA de
primos gemelos \( p_1,p_2,\ldots,p_n \). Y tu objetivo es ver que eso es contradictorio.
Y llamas:
\( \Pi=\prod_{i=1}^Np_i \)
¿De acuerdo?.
- Si $$6\Pi+1$$ es primo, entonces hemos encontrado un primo que no estaba en nuestra lista inicial de la productoria, lo cual contradice la suposición de que la productoria de los elementos de la lista de primos era exhaustiva hasta $$p_n$$ lo mismo si $$6\Pi-1$$ es primo.
Esto ya está mal. Porque tu suposición es que hay infinitos primos
gemelos. Entonces podría ser que \( 6\pi+1 \) fuese primo, pero no primo gemelo.
- Si $$6\Pi+1$$ no es primo, entonces debe ser divisible por algún número primo $$p_i$$. Sin embargo, ninguno de los primos $$p_1, p_2, ..., p_n$$ divide a $$6\Pi+1$$ exactamente, porque al dividir $$6\Pi+1$$ por cualquiera de ellos, siempre sobra un residuo de 1.
En realidad tal como has redactado tu intento de demostración, eso tampoco está bien. \( 6\Pi+1 \) podría no ser primo, pero divisible por un primo NO gemelo que no está en tu lista \( p_1,p_2,\ldots,p_n \). Entonces no hay ninguna contradicción.
Lo mismo con \( 6\Pi-1 \).
Y ya no funciona nada de lo que afirmas...
Saludos.
