[Julio_fmat]

Demostrar que si \( P(n) \) es una proposición en la variable \( n\in \mathbb{N} \) que verifica:

i) \( P(1) \) es verdadera

ii) \( P(n) \) es verdadera \( \longrightarrow P(n+1) \) es verdadera, 

entonces \( P(n) \) es verdadera \( \forall n\in \mathbb{N} \).

Indicación: La demostración es por contradicción. Supongamos por contradicción que i) y ii) valen, pero que existe al menos un número natural, tal que \( P(n) \) no es cierta, es decir, \( S=\{n\in \mathbb{N}: P(n) \text{ es falsa } \}\neq \varnothing \), y usar el Principio del Buen Orden, y que todo número natural distinto de \( 1 \) es el siguiente de otro número natural, para llegar a una contradicción.

Hola, ¡muy buenos días a todos los foristas! Quisiera si me pudieran ayudar con la demostración de este problema. Muchas gracias.

[Juan Pablo Sancho]

Sea \( B=\{n\in \mathbb{N}| \neg P(n)\}  \), por el principio del buen orden al ser \( B \neq \emptyset \) existe \( n_0 = min(B) \) como \( P(1)  \) es cierta tienes que \( n_o > 1 \) luego \( n_o-1 \geq 1 \) y \( n_o -1 \notin B  \) entonces:
\( P(n_o-1) \) es cierta y \( P(n_o-1) \to P(n_o)  \) es cierta, entonces \( P(n_o) \) es cierta.