[Julio_fmat]

Dados \( m,n\in \mathbb{N} \), definimos la relación menor o igual que, del siguiente modo:

\( m\le n \longleftrightarrow m<n \vee m=n. \)

Demostrar que \( \le \) es un orden total en \( \mathbb{N}. \)

Hola, muy buenos días. No entiendo lo que es un orden total en \( \mathbb{N} \), o sea, que debo demostrar en \( \mathbb{N} \)? Gracias.

[ani_pascual]

Hola:

Dados \( m,n\in \mathbb{N} \), definimos la relación menor o igual que, del siguiente modo:

\( m\le n \longleftrightarrow m<n \vee m=n. \)

Demostrar que \( \le \) es un orden total en \( \mathbb{N}. \)

Hola, muy buenos días. No entiendo lo que es un orden total en \( \mathbb{N} \), o sea, que debo demostrar en \( \mathbb{N} \)? Gracias.

Hay que probar que la relación binaria es reflexiva, antisimétrica y transitiva, y además que dados dos números naturales cualesquiera, \( m,n \), estos son comparables, i.e , o bien \( m\leq n  \) o bien \( n\leq m \).
A ver si sale...
Saludos

[manooooh]

Hola

Me parece que hay que preguntarle a Julio_fmat en qué contexto le surge este problema, porque podría darse por sabido que \( \leq \) es un orden total. Suele ser el ejemplo que se usa para definir las relaciones de orden total.

Supongo que para probar que \( \leq \) es relación de orden total, habrá que usar la definición:

\( a\leq b\iff a<b\lor a=b. \)

Pero en ese caso creo que habría que demostrar previamente que alguna de las relaciones \( < \) o \( = \) son de orden total, y por alguna propiedad "la disyunción de relaciones de órdenes totales es una relación de orden total".

Pero insisto; depende el contexto podría tranquilamente darse por probado ya que es la relación trivial de orden total.

Saludos

[Julio_fmat]

Hola

Me parece que hay que preguntarle a Julio_fmat en qué contexto le surge este problema, porque podría darse por sabido que \( \leq \) es un orden total. Suele ser el ejemplo que se usa para definir las relaciones de orden total.

Supongo que para probar que \( \leq \) es relación de orden total, habrá que usar la definición:

\( a\leq b\iff a<b\lor a=b. \)

Pero en ese caso creo que habría que demostrar previamente que alguna de las relaciones \( < \) o \( = \) son de orden total, y por alguna propiedad "la disyunción de relaciones de órdenes totales es una relación de orden total".

Pero insisto; depende el contexto podría tranquilamente darse por probado ya que es la relación trivial de orden total.

Saludos

Hola manooooh y ani_pascual, es un problema de mi listado de problemas sobre números naturales e inducción, de la asignatura Matemática Discreta. ¿Están seguros que debo probar esas cosas? Creo que no, porque eso es para probar que una relación es de equivalencia... La naturaleza de mi ejercicio es para introducir los conceptos primeramente, y entender qué es un orden total en los números naturales. Si se pudiera, me gustaría la opinión de Luis Fuentes, cómo el atacaría este problema.

¡Muchas gracias a todos los foristas!

[Juan Pablo Sancho]

Busca los cursos de argentinator seguro te ayudan, te pongo una solución en spoiler.

Spoiler

Copy paste de un libro de análisis:(pongo que un orden total es que cualquier par de números se pueden comparar y eso es la propiedad de tricotomía)
Proposición: Para cada par de números naturales \( m \) y \( n \)  se verifica una y sólo una de las relaciones
   \( m < n \) , \( m=n \), \( n < m \).
   
Demostración: procederemos por inducción sobre n.
No puede ser \( m < 1 \) pues entonces existiria un \( p \in \mathbb{N} \) tal que \( m+p = 1  \), lo cual es imposible porque si \( p=1 \) sería \( s(m) = 1 \), y si \( p \neq 1  \) seria \( s(r) = p  \) para \( r \in \mathbb{N} \) y la condición \( m + s(r) = 1 \) implicaria \( s(m+r) = 1 \). Así pues se verifica una y sólo una de las relaciones \( m=1 \) ó \( m\neq 1 \).Pero si \( m \neq 1 \) existe \( q \in \mathbb{N} \) tal que \( s(q) = m \), es decir \( 1+q = m \) y , por tanto, \( 1<m \).Por consiguiente, si \( n = 1  \) se verifica una y sólo una de las relaciones \( m=n \), \( n < m \).

Supongamos que la proposición es cierta para \( n \) y veamos entonces también es cierta para \( s(n) \).Distinnguiremos dos casos según sea \( m=1 \) ó \( m \neq 1 \)

a) \( m=1 \). se verifica \( 1 < s(n) \) porque \( 1+n = s(n)  \).Además , \( s(n) \neq 1 \) y no es \( s(n) < 1 \) porque entonces existiría un \( r \in \mathbb{N}  \) y, por tanto , \( s(n+r) = 1 \)

b) \( m \neq 1 \).existe \( q \in \mathbb{N} \) tal que \( s(q) = m  \) y por hipótesis de inducción se verifica una y sólo una de las relaciones
\( q<n  \) , \( q = n \) , \( q > n \).
Si \( q < n \) existe \( r \in \mathbb{N}  \) tal que \( q+r = n \), luego \( s(q+r) = s(n)  \) es decir ,\( s(q) + r = s(n) \) o lo que es igual, \( m+r = s(n)  \) y, por tanto. \( m < s(n)  \)

Si \( q = n \),también \( s(q) = s(n) \), es decir \( m = s(n)  \)

Si \(  n < q  \) exsite \( r \in \mathbb{N}  \) tal que \( n+r = q  \), luego \( s(n+r) = s(q) \), es decir , s(n) + r = s(q) = m [/tex] y, por tanto \( s(n) < m \).

Por consiguiente, en todo caso,se verifica una y sólo una de las relaciones :

               \( m<s(n)  \), \( m=s(n) \) , \( m>s(n) \)

[cerrar]

[Julio_fmat]

Muchas gracias a Juan Pablo Sancho  . Se demuestra que \( (\mathbb{N},\le) \) es un conjunto totalmente ordenado.

¡Saludos!