[josvit]

Buen día a todos
Quisiera que alguien me ayude a demostrar algunas propiedades que tienen que ver con la colinealidad de ciertos puntos. Desconozco como partir en estos asuntos de demostrar problemas de colinealidad y paralelismo, y que puntos o cristerios se deben tomar en cuenta.
Son dos propiedades en las que quisiera que me ayuden, una en este hilo y otro en una próxima.
Adjunto imagen


Muchas gracias...

[ani_pascual]

Hola;

Buen día a todos
Quisiera que alguien me ayude a demostrar algunas propiedades que tienen que ver con la colinealidad de ciertos puntos. Desconozco como partir en estos asuntos de demostrar problemas de colinealidad y paralelismo, y que puntos o cristerios se deben tomar en cuenta.
Son dos propiedades en las que quisiera que me ayuden, una en este hilo y otro en una próxima.
...

Una forma:

Spoiler

Llamando \( T \) al centro de la circunferencia pequeña, \( O \) al centro de la semicircunferencia  y \( \alpha=\angle{TQP}=\angle{TPQ}=\angle{OAQ} \), por ser \( \triangle{TQP} \) isósceles y porque \( QT||AO \), se tiene que \( \angle{AQH}=90^{\circ}-\alpha\Longrightarrow \angle{AQT}=90^{\circ}-\alpha+90^{\circ}=180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\angle{PQT} \) de donde \( A,Q,P \) están alineados.

[cerrar]

Saludos

[Pie]

\( \alpha=\angle{TQP}=\angle{TPQ}=\angle{OAQ} \)

Pero ahi ya estás asumiendo que son colineales, no? (si no lo fueran la última igualdad no tiene porqué ser cierta )

Yo había pensado algo así (tampoco es que me entusiasme mucho la demostración  )

Spoiler

Llamando \( O \) al centro del semicirculo, \( Q' \) a la intersección entre \( AP \) y la circunferencia pequeña y \( O' \) a su centro, como \( P \) es punto de tangencia \( OP \) debe pasar por \( O' \), por lo que los triángulos isósceles \( \triangle{POA} \) y \( \triangle{PO'Q'} \) son semejantes, por lo que \[ Q'O' \parallel AO \parallel AB \].

Y como \( CH \) es tangente a la circunferencia pequeña en \( Q \) y \( CH \perp{AB} \), se tiene que \( QO' \parallel AB \), por lo que necesariamente \( Q = Q' \)

[cerrar]

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
Pero ahi ya estás asumiendo que son colineales, no? (si no lo fueran la última igualdad no tiene porqué ser cierta )

Yo había pensado algo así (tampoco es que me entusiasme mucho la demostración  )

Spoiler

Llamando \( O \) al centro del semicirculo, \( Q' \) a la intersección entre \( AP \) y la circunferencia pequeña y \( O' \) a su centro, como \( P \) es punto de tangencia \( OP \) debe pasar por \( O' \), por lo que los triángulos isósceles \( \triangle{POA} \) y \( \triangle{PO'Q'} \) son semejantes, por lo que \[ Q'O' \parallel AO \parallel AB \].

Y como \( CH \) es tangente a la circunferencia pequeña en \( Q \) y \( CH \perp{AB} \), se tiene que \( QO' \parallel AB \), por lo que necesariamente \( Q = Q' \)

[cerrar]

Saludos.

Pues sí, llevas razón...  No es correcto el razonamiento. A ver ahora...

Spoiler

El triángulo \( \angle{QPR} \) es recto por ser la mitad del llano central que abarca el mismo arco en la circunferencia pequeña y los triángulos \( \triangle{TPR},\triangle{OPB} \) son isósceles y semejantes, con \( \angle{TPR}=\angle{TRP}=\angle{OBP}=90^{\circ}-\alpha \). Por ser \( AB \) diámetro de la semicircunferencia y \( \angle{QPR}=90^{\circ} \), la prolongación de \( QP \) pasa por \( A \), y así \( A, Q,P \) están alineados.

Aunque ahora que lo releo, me parece que estoy suponiendo sin probarlo que \( P,R,B \) están alineados
Me parece que al ser \( \angle{QPR} \) un recto inscrito a la circunferencia pequeña y también al semicículo, necesariamente las prolongaciones de \( QP \) y de \( PR \) han de pasar por \( A \) y \( B \) respectivamente.

[cerrar]

Saludos

[Pie]

Aunque ahora que lo releo, me parece que estoy suponiendo sin probarlo que \( P,R,B \) están alineados
Me parece que al ser \( \angle{QPR} \) un recto inscrito a la circunferencia pequeña y también al semicículo, necesariamente las prolongaciones de \( QP \) y de \( PR \) han de pasar por \( A \) y \( B \) respectivamente.

Si no te estoy entendiendo mal, no tiene por qué (asi sin más al menos). Puedes mover el vértice \( Q \) y ver que eso solo ocurre cuando \( Q = Q' \).


Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
Si no te estoy entendiendo mal, no tiene por qué (asi sin más al menos). Puedes mover el vértice \( Q \) y ver que eso solo ocurre cuando \( Q = Q' \).
...

Ya,  pero al ser \( TR||OB \) y tener la proporción  \( \dfrac{PT}{TR}=\dfrac{PO}{OB} \), por Tales, ¿no se da ya la colinealudad de \( P,R,B \)? 
Saludos

[josvit]

Muchas gracias por sus aportes.

[Pie]

Hola:

...
Si no te estoy entendiendo mal, no tiene por qué (asi sin más al menos). Puedes mover el vértice \( Q \) y ver que eso solo ocurre cuando \( Q = Q' \).
...

Ya,  pero al ser \( TR||OB \) y tener la proporción  \( \dfrac{PT}{TR}=\dfrac{PO}{OB} \), por Tales, ¿no se da ya la colinealudad de \( P,R,B \)? 
Saludos

Es que asi dicho no sé qué decirte. Creo que en estos problemas lo ideal es usar letras diferentes hasta que se demuestre la colinealidad. Entonces podrías llamar \( R \) a la intersección entre la prolongación de \( QT \) con la circunferencia pequeña y \( R' \)a la intersección de esta con \( PB \), y luego demostrar que tanto \( TR \) como \( TR'  \) son paralelas a \( AB \), luego \( R = R'. \). Básicamente eso es lo que hice yo (no se si viste mi spoiler ) solo que directamente con la colinealidad pedida.. 

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
Es que asi dicho no sé qué decirte. Creo que en estos problemas lo ideal es usar letras diferentes hasta que se demuestre la colinealidad. ...

Seguiré tu consejo... 
Se tiene \( TR||OB \) y \( \dfrac{PT}{TR}=\dfrac{PO}{OB}=1 \). Si trazamos el segmento \( PR \) y lo prolongamos hasta cortar en el punto \( B' \) al segmento \( OB \) o a su prolongación, por Tales se tendría que \( \dfrac{PT}{TR}=\dfrac{PO}{OB'} \) luego \( \dfrac{PO}{OB'}=\dfrac{PO}{OB}\Longrightarrow OB=OB'\Longrightarrow B=B' \) y los puntos \( P,R,B \) están alineados.

Saludos

[Pie]

Hola:

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Es que asi dicho no sé qué decirte. Creo que en estos problemas lo ideal es usar letras diferentes hasta que se demuestre la colinealidad. ...

Seguiré tu consejo... 
Se tiene \( TR||OB \) y \( \dfrac{PT}{TR}=\dfrac{PO}{OB}=1 \). Si trazamos el segmento \( PR \) y lo prolongamos hasta cortar en el punto \( B' \) al segmento \( OB \) o a su prolongación, por Tales se tendría que \( \dfrac{PT}{TR}=\dfrac{PO}{OB'} \) luego \( \dfrac{PO}{OB'}=\dfrac{PO}{OB}\Longrightarrow OB=OB'\Longrightarrow B=B' \) y los puntos \( P,R,B \) están alineados.

Saludos

Ok, ahora así. Conste que lo decía porque es fácil confundirse (o no saber exactamente a qué intersecciones se está refiriendo uno con tal o cual letra ) con estos temas de colinealidad, etc.. Este no es que fuera muy dificil, pero a poco que no se dejen claras esas cosas es fácil liarse..

Saludos.