[josvit]

Hola
Buen día a todos, me gustaría saber la demostración de dos propiedades, que a mi parecer se demuestra con métricas del triángulo rectángulo. Ando intentando pero no llego hasta cierta expresión, y me gustaría que alguien me de ideas para llegar a su desarrollo.

Adjunto la imagen de la primera:


Y de la segunda:


Muchas gracias desde ya.
Mensaje corregido desde la administración.

Por favor: un sólo problema en cada hilo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Observa el dibujo:



 En el triángulo rectángulo \( \color{red}A\color{black}IE \) el cateto \( EI \) cumple:

\( EI^2=AE^2-AI^2=(R-x)^2-x^2 \)

 En el triángulo rectángulo \( HIE \) el cateto \( EI \) cumple:

\( EI^2=HE^2-HI^2=(R/2+x)^2-(R/2-\color{red}x)^2\color{black} \)

 Iguala y termina... Resultará \( x=\dfrac{R}{4} \).

Saludos.

CORREGIDO (gracias ani_pascual y Pie).

[ani_pascual]

Hola:

...
 En el triángulo rectángulo \( \textcolor{red}{Q}IE \) el cateto \( EI \) cumple:

\( EI^2=AE^2-AI^2=(R-x)^2-x^2 \)
 ...

A 
Saludos

[Pie]

Por hacerle la competencia a ani.. 

En el triángulo rectángulo \( HIE \) el cateto \( EI \) cumple:

\( EI^2=HE^2-HI^2=(R/2+x)^2-(R/2-x\color{red}^2 \color{black})\color{blue} ^2 \)

Saludos.

[Pie]

Para el otro más o menos la misma idea..

Spoiler

\( (x + R/2)^2 = (R/2)^2 + (R-x)^2 \Longrightarrow{} \)

\[ x^2 +Rx + R^2/4 = R^2/4 + R^2 - 2Rx + x^2 \Longrightarrow{} \]

\[ Rx = R^2 - 2Rx \Longrightarrow{} 3Rx = R^2 \Longrightarrow{} \]

\[ x = \frac{R^2} {3R} = \frac{R}{3}  \]

[cerrar]

Saludos.

[josvit]

Muchas gracias a todos por sus aportes.