Ejercicio 9: Si \( M,N \) son puntos de tangencia:
Buenas. Bienvenido al foro.
Te dejo el 9), aunque creo que lo ideal seria que abrieras un hilo nuevo (y mejor una pregunta por hilo..
)
Por ángulos inscritos en la circunferencia se tiene \( \angle SPN = \angle PMN \) y \( \angle MPR = \angle MNP \), por tanto \( \triangle{MUP} \sim \triangle{PSN} \) y \( \triangle{PRM} \sim \triangle{NUP} \), de donde (llamando \( a = MR, x = UP, b = NS \)) :
\[ \frac{a}{MP} = \frac{x}{PN} \Longrightarrow{}a = \frac{x\cdot MP} {PN} \]
\[ \frac{x}{MP} = \frac{b}{PN} \Longrightarrow{} b = \frac{x\cdot PN} {MP}
\]
\[ a\cdot{}b = \frac{x\cdot \cancel{MP} }{\cancel{PN} } \cdot \frac{x\cdot \cancel{PN}}{\cancel{MP}}= x^2 \]
PD. Por cierto, me extraña que en el enunciado diga si \( M \) y \( N \) son puntos de tangencia y no diga nada sobre el otro, que es el que realmente tiene que ser punto de tangencia. \( M \) y \( N \) podrían ser cualquier punto de la circunferencia y la semejanza, etc.. se cumpliría igual..
Saludos.
