Hola.
Gracias a todos.
Vosotros mismo me demostráis que estaba en lo cierto.
Ya Luis lo había hecho desde el inicio.
Pero por ejemplo Richard con su ojo bien agudo se percató del incremento directamente propprcional entre n y la cantidad de números k.
Al ferrva ya había comentado, pero pudo explicar mejor su ejemplo.
Yo se que la participación es voluntaria y que a veces no hay que decir.
Pero incluso eso es algo que se puede decir.
A continuación les comparto lo que una IA en modo experto respondió al comentario inicial de Luis, ya se que las IA son aduladoras y muchas veces lo que hacen es empeorar la cosa, pero otras veces pueden dar alguna idea.
Aquí les va:
Hola! Esa es una conjetura interesante. Si fuera un experto en teoría de números, respondería algo como esto a tu amigo:
"Tu conjetura es bastante ambiciosa y toca varios aspectos importantes de la teoría de números, incluyendo la distribución de números primos, la concatenación de números y las sumas de dígitos. Aquí te dejo algunas reflexiones y posibles líneas de investigación:
**Comentarios generales:**
• **Dificultad inherente:** Encontrar patrones regulares en los números primos es notoriamente difícil. La distribución de primos parece, a primera vista, aleatoria. La búsqueda de primos con propiedades específicas (como las que propones) es un área activa de investigación, pero no se esperan resultados fáciles.
• **Complejidad creciente con n:** A medida que 'n' aumenta, el número de primos de 'n' cifras crece (aunque de forma menos densa que los números enteros). Sin embargo, el número de pares de primos sucesivos (A, B) de n/2 cifras también disminuye relativamente. Esto significa que la probabilidad de encontrar un primo concatenado que además cumpla con la condición de la suma de dígitos también decrece rápidamente.
• **Condición de la suma de dígitos:** La condición de que la suma de los dígitos sea también un primo es un filtro bastante restrictivo. La suma de los dígitos de un número está relacionada con su divisibilidad por 3 y 9, lo cual introduce un elemento de estructura que podría afectar la distribución aleatoria esperada de los primos.
**Puntos a considerar más en detalle:**
1. **Existencia vs. Infinitud:** Demostrar la existencia de al menos un número primo que cumpla tus condiciones para una 'n' par específica ya sería un resultado interesante. Demostrar que existen *infinitos* es mucho más desafiante.
2. **Análisis empírico:** Antes de intentar una demostración formal, sería fundamental realizar una búsqueda computacional exhaustiva para valores pequeños de 'n' (por ejemplo, n = 2, 4, 6, 8, 10). Esto podría revelar patrones inesperados, ejemplos que contradigan la conjetura, o ayudar a refinarla.
3. **Heurísticas y argumentos probabilísticos:** Se podría intentar desarrollar un argumento probabilístico que sugiera que la probabilidad de encontrar un primo que cumpla todas las condiciones no es despreciable, incluso para 'n' grandes. Esto no sería una demostración, pero daría credibilidad a la conjetura y guiaría la búsqueda de una prueba. Por ejemplo:
* Estimar la densidad de primos de 'n' cifras.
* Estimar la probabilidad de que dos primos sucesivos de n/2 cifras existan.
* Estimar la probabilidad de que la suma de los dígitos del número concatenado sea primo.
* Multiplicar estas probabilidades (con las debidas precauciones) para ver si la probabilidad resultante tiende a cero o no cuando 'n' tiende a infinito.
4. **Herramientas teóricas:** Podrían ser relevantes herramientas como:
* **El teorema de los números primos:** Para estimar la densidad de primos.
* **Resultados sobre la distribución de primos en progresiones aritméticas (Teorema de Dirichlet):** Podrían ser útiles si la condición de la suma de dígitos introduce alguna estructura aritmética.
* **Técnicas de criba:** Para estimar el número de primos que sobreviven a los distintos filtros (primo, concatenación, suma de dígitos primo).
5. **Contraejemplos y refinamiento:** Es posible que la conjetura en su forma actual sea falsa. Si encuentras contraejemplos, no te desanimes. Analízalos cuidadosamente. ¿Qué hace que fallen? ¿Podrías añadir condiciones adicionales a tu conjetura para evitar esos contraejemplos y hacerla más plausible?.
**Resumiendo:**
Tu conjetura es interesante y merece ser explorada. El camino para probarla (o refutarla) probablemente será largo y requerirá una combinación de análisis numérico, argumentos probabilísticos y herramientas teóricas avanzada
