Mi pregunta es:
¿Cómo pienso la curva, como un conjunto de puntos o como una función, o cómo ambos? ¿de alguna otra forma más, sería posible también? Seguramente debo leer más al respecto, pienso hacerlo, si, pero ahora me pregunto esto.
Por añadir algo a lo dicho por
Luis, una es la definición clásica de curva, que no es más que una función continua de la forma \( \varphi :I\to X \), donde \( X \) es un espacio topológico e \( I\subset \mathbb{R} \) es un intervalo. Desde ahí, dependiendo del problema que intentes resolver y su contexto, puedes ver esa curva como:
1. Un camino dentro de un campo vectorial
2. Una inmersión de una variedad topológica de dimensión uno en \( X \)
3. Un grupo, cuando la curva es cerrada
4. La frontera de una región conexa del plano, cuando al curva es cerrada y no se corta a sí misma
Etc..., pero en este caso no tengo claro si alguna de estas cosas te pueda servir o no. Como en este caso \( X=\mathbb{R}^2 \), dependiendo de la curva, se pueden usar más nociones. Pero leyendo la entrada de la wikipedia lo que queda por demostrar es el caso más general, ya que la conjetura ya se ha demostrado para curvas suaves a trozos o convexas. Si me interesase el problema, empezaría estudiando las demostraciones de estos casos, luego buscando cosas sobre curvas generales, si hay alguna clasificación, que propiedades tienen, etc.
Varias ideas al aire: supongamos que tenemos una curva cerrada para la cual se cumple lo del cuadrado inscrito, ¿qué transformaciones de la curva (a otra curva cerrada) preservan necesariamente la propiedad del cuadrado inscrito? Otra idea: estudiar el conjunto de tripletes de tres puntos de la curva tales que esos tres puntos formen parte de tres vértices de un cuadrado, y a partir de ahí ver qué condiciones aseguran la existencia de, para al menos uno de esos tripletes, la existencia de un cuarto punto que complete el cuadrado. Otra idea: generalizar el problema a un polígono regular cualquiera (seguramente esto ya se haya estudiado). Etc.
