Hola
La superficie \( z=1-x^2 \) es un cilindro parabólico hacia abajo, con generatrices paralelas al eje Y, hay que parametrizarlo una manera, considerando a x e y como parámetros :
\( S:D\subset{R^2}\rightarrow{R^3} \)
\( (x,y)\rightarrow{\vec{S}(x,y)=(x,y,1-x^2)} \)
Denominando A al área comprendida y considerando la simetría respecto al plano YZ, conveniente hacer un croquis se tiene :
\( A=2 \ \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}\left\|{\frac{{\partial S}}{{\partial x}} \ \ X \ \ \frac{{\partial S}}{{\partial y}}}\right\| \ \ dy \ dx \)
\( \left\|{\frac{{\partial S}}{{\partial x}} \ \ X \ \ \frac{{\partial S}}{{\partial y}}}\right\|=\left\|{(1,0,-2x) \ X \ (0,1,0)}\right\|=\left\|{(2x,0,1)}\right\|=\sqrt[ ]{1+4x^2} \)
Las superficies que lo limitan implican la intersección entre la superficie y el otro cilindro parabólico \( z=1-y^2 \) la intersección será :
\( 1-x^2=1-y^2\Rightarrow{\left |{x}\right |=\left |{y}\right |} \) considerando el primer cuadrante (la otra parte simétrica de la superficie toma valores negativos de x) se tiene que la intersección y en consecuencia su proyección sobre el plano XY es \( x=y \) con esto se tiene finalmente integrando primero respecto a y para sencillez :
\( A=2\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{x}\sqrt[ ]{1+4x^2} \ dy \ dx \)
Esto es operativo.
Saludos
