Hola, bueno días.
Estaba resolviendo algunos problemas del libro de mecánica clásica de Jonh Taylor y hay uno en el que no me coincide la solución con la que propone el autor. El problema dice lo siguiente.
3.4-Dos vagabundos, cada uno de masa \( m_h \), están de pie en un extremo de un vagón de tren estacionario con ruedas sin rozamiento y masa \( m_{fc} \). Cada vagabundo puede correr hasta el otro extremo del del vagón y saltar fuera con la misma velocidad \( u \) (relativa al vagón).
a) Usar la conservación del momento lineal para hallar la velocidad del vagón que retrocede si los dos hombres corren y saltan simultáneamente.
b) ¿Cuál sería si el segundo hombre no comienza a correr hasta que el primero ya ha saltado? ¿Qué procedimiento produce mayor velocidad?
[Ayuda: La velocidad \( u \) es la velocidad de cualquiera de los dos vagabundos, relativa al vagón justo después de haber saltado; tiene el mismo valor para ambos hombres y es la misma en las partes (a) y (b)]
El problema viene en el segundo apartado, donde primero hay que calcular la velocidad de la vagoneta después del salto del primer hombre y después calcular la velocidad después del segundo salto. La velocidad del vagón después del primer salto es:
\(
\displaystyle v_1=\frac{-m_hu}{m_{fc}+2m_h}
\)
Aquí, coincidimos en la respuesta, el problema es en la \( v_2 \), os comento mi procedimiento, basándome en la conservación de momento lineal antes y después del segundo salto:
\(
\displaystyle\vec{P_{ini}}=\vec{P_{fin}}\Rightarrow(m_{fc}+m_h)v_1=\vec{P_{fc2}}+\vec{P_h}\Rightarrow(m_{fc}+m_h)\frac{-m_hu}{m_{fc}+2m_h}=m_{fc}v_2+m_hv_h
\)
Usando la relación de velocidades relativas tengo que:
\(
v_h=(u+v_2)
\)
Por tanto, volviendo a lo de antes:
\(
\begin{align*}
-\frac{(m_{fc}+m_h)m_hu}{m_{fc}+2m_h}=m_{fc}v_2+m_h(u+v_2)&\Rightarrow v_2(m_{fc}+m_h)=-\frac{(m_{fc}+m_h)m_hu}{m_{fc}+2m_h}-m_hu\\[1em]
&\Rightarrow v_2=\frac{-m_{fc}m_hu-m_h^2u-m_{fc}m_hu-2m_h^2u}{(m_{fc}+2m_h)(m_{fc}+m_h)}\\[1em]
&\Rightarrow v_2=\frac{-um_h(m_{fc}+m_h+m_{fc}+2m_h)}{(m_{fc}+2m_h)(m_{fc}+m_h)}\\[1em]
&\Rightarrow v_2=v_1\frac{3m_h+2m_{fc}}{m_h+m_{fc}}
\end{align*}
\)
El problema es que al autor le da como respuesta
\(
\displaystyle v_2=2v_1\frac{3m_h+2m_{fc}}{m_h+m_{fc}}
\)
\( 2v_1 \) es la respuesta del apartado a) donde los hombres saltan a la vez. Yo he considerado el sentido positivo del eje \( x \) en el sentido de los saltos de los hombres, por tanto el vagón se movería en el sentido \( -x \). He revisado el problema varias veces y no encuentro ningún fallo si alguien me puede echar una mano se lo agradezco.
Gracias de antemano.
Mensaje de la moderación: se ha corregido el \( \LaTeX \) ligeramente para que se vea mejor. También he puesto el ejercicio original en una cita para que se separe más claramente del resto del texto.
