[zorropardo]

Probar : $$A-B=B-A \Leftrightarrow{ A=B}$$

$$(\rightarrow{})$$ Sea $$x \in A-B=B-A$$ entonces $$x \in A$$ y $$ x \not\in B$$  y tambien   $$x \in B$$ y $$ x \not\in A$$  como no es posible pertenecer o no pertenecer al mismo tiempo al mismo  conjunto, debemos tener necesariamente que: $$A=B.$$

(<----) Sea $$x \in A$$ entonces $$x \not \in A^{c}$$ pero como $$A=B,$$ $$ x \not \in B^{c}$$ y $$x \in B$$ osea $$x \in A$$ y $$x \not \in B^{c}$$ y $$x \in B$$ y $$x \not \in A^{c} $$ asi: $$x \in (A-B)$$ y $$x \in (B-A)$$ por tanto $$A-B=B-A.$$ Esta bien 

[manooooh]

Hola

No está bien, al menos como lo tienes escrito.

Para el primero tomas \( x \) perteneciente a una igualdad de conjuntos que eso no es un conjunto. O manipulas algebraicamente la hipótesis para llegar a destino o lo llevas al plano de elementos: no una combinación de ambas formas.

Para la segunda no arrancas bien.

Tienes en principio 2 casos:

Caso 1)

\( A-B=B-A \implies{ A=B} \)

Caso 2)

\( A=B\implies A-B=B-A \)

A su vez, como en cada caso tienes que demostrar una igualdad se separa en dos sub casos por tener que demostrar una inclusión y la otra:

Caso 1 a)

\( A-B=B-A \implies{ A\subseteq B} \)

Caso 1 b)

\( A-B=B-A \implies{ B\subseteq A} \)

Te dejo a ti las demostraciones y los casos restantes.

Saludos

[zorropardo]

Hola,sera asi:

Sea $$x \in A.$$ Supongamos que $$x \not \in B \Rightarrow{  x \in A -B=B-A \mbox{ (Por hipotesis) }}  \Rightarrow{ x \not \in A}$$ Absurdo!! Por tanto
necesariamente
$$x \in B.$$ Asi: $$A \subset{B}.$$  Esta bien 

Analogamente $$B\subset{A}.$$

[ani_pascual]

Hola:

Hola,sera asi:

Sea $$x \in A.$$ Supongamos que $$x \not \in B \Rightarrow{  x \in A -B=B-A \mbox{ (Por hipotesis) }}  \Rightarrow{ x \not \in A}$$ Absurdo!! Por tanto
necesariamente
$$x \in B.$$ Asi: $$A \subset{B}.$$  Esta bien 

Analogamente $$B\subset{A}.$$

Ahora sí...
Para la otra implicación, una forma es:
Si \( A=B \) entonces \( A-B=A\cap B^c=A\cap A^c=\emptyset=B\cap B^c=B\cap A^c=B-A \)
Saludos

[zorropardo]

Hola , tambien podria hacerlo asi:

Si $$A=B \Rightarrow{ A-B=A-A=\emptyset}$$

Si $$A=B \Rightarrow{ B-A=A-A= \emptyset}.$$ Luego, $$A-B=\emptyset=B-A$$

Por tanto $$A-B=B-A.$$ Esta bien 

[ani_pascual]

Hola:

...
Por tanto $$A-B=B-A.$$ Esta bien 

Sí, claro, pero ten en cuenta que \( A-A=\emptyset \) debido a que, por definición, es \( A-A=A\cap A^c \) y análogamente con \( B \). 
Saludos