[Marcos Castillo]

Estimado Rincón:

Esta es mi primera incursión en funciones de dos variables. Y quiero demostrar que

\( \displaystyle\lim_{(x,\,y)\rightarrow{(\pi/3,\,2)}}{y\sin{\bigg (\cfrac{x}{y}\bigg )}}=1 \)

con una prueba \( \epsilon/\delta \)

Intento

\( \forall{\,\epsilon>0},\,\exists{\,\delta>0} \) tal que si \( 0<\displaystyle\sqrt{(x-\pi/3)^2+(y-2)^2}<\delta \), entonces \( \Bigg |y\sin{\bigg ( \cfrac{x}{y}\bigg )}-1 \Bigg |<\epsilon \)

Supongo que hay un entorno de \( (x,\,y) \) tal que \( 0<\displaystyle\sqrt{(x-\pi/3)^2+(y-2)^2}<\delta \)

\( \Bigg |y\sin{\bigg ( \cfrac{x}{y}\bigg )}-1 \Bigg |<\Bigg |y\sin{\bigg ( \cfrac{x}{y}\bigg )}\Bigg | \)

¿\( y \) debe ser mayor que \( 1 \)? Me lío un poco al ser \( \sin{} \) de una fracción: \( \cfrac{x}{y} \), multiplicado todo por el denominador de la fracción.

Creo que el paso que voy a dar a continuación es correcto por estar contenido el rango de \( \arcsin{\bigg ( \cfrac{x}{y}\bigg )} \), \( -\pi/2\leq\cfrac{x}{y}\leq{\pi/2} \) en el de \( \sin{\bigg ( \cfrac{x}{y}\bigg )} \), \( -1\leq{\bigg ( \cfrac{x}{y}\bigg )}\leq{1} \)

\( \Bigg |y\sin{\bigg ( \cfrac{x}{y}\bigg )}\Bigg |<|y|\bigg | \cfrac{x}{y}\bigg |=|x|<\displaystyle\sqrt{(x-\pi/3)^2+(y-2)^2}<\delta \)

Basándome para el anterior último paso en \( |x|=\sqrt{x^2} \)

Es decir, escogiendo \( \delta=\epsilon \), ya estaría. Pienso yo.

Un saludo

[Masacroso]

No tienes ninguna justificación para esta desigualdad: \( |y\sin(x/y)-1 |< |y\sin ( x/y) | \). Además no veo qué tiene que ver el arcoseno de \( x/y \) con el seno del mismo valor. Veo muy complicado demostrar lo que quieres sólo utilizando la definición de límite, sería más sencillo utilizar el siguiente teorema general para límites de funciones en espacios métricos (o topológicos):

- Si \( \lim_{v\to w}f(v)=L_1 \) y \( \lim_{v\to w}g(v)=L_2 \) entonces \( \lim_{v\to w}h(f(v),g(v))=h(L_1,L_2) \) para cualquier función continua \( h \).

Entonces tienes un límite de la siguiente forma:

\[
\lim_{v\to c}p(f(v),\operatorname{sen}(g(v)))
\]

donde \( p:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\, (x,y)\mapsto x\cdot y \), \( f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\, (x,y)\mapsto y \), y \( g:\mathbb{R}\times (\mathbb{R}\setminus \{0\})\to \mathbb{R},\, (x,y)\mapsto x/y \), y donde \( c=(\pi/3,2) \). Si conoces, o demuestras, que todas las funciones involucradas son continuas, entonces tienes que \( \lim_{v\to c}p(f(v),\operatorname{sen}(g(v)))=p(f(c),\operatorname{sen}(g(c))) \), que te da el resultado deseado al sustituir.

[Marcos Castillo]

sería más sencillo utilizar el siguiente teorema general para límites de funciones en espacios métricos (o topológicos):

- Si \( \lim_{v\to w}f(v)=L_1 \) y \( \lim_{v\to w}g(v)=L_2 \) entonces \( \lim_{v\to w}h(f(v),g(v))=h(L_1,L_2) \) para cualquier función continua \( h \).

(i) \( \displaystyle\lim_{y \to{2}}{y}=2 \), dado que el eje de ordenadas es continuo.

(ii) \( \sin{\cfrac{x}{y}} \) es continua si \( \displaystyle\lim_{(x,\,y)\rightarrow{(\pi/3,\,2)}}{\sin{\bigg (\cfrac{x}{y}}\bigg )}=f(\pi/3,\,2) \)

Es continua para \( \mathbb{R}\setminus{\{0\}} \), luego el límite coincide con el valor que toma la función en \( (\pi/3,\,2) \)

Masacroso, ¿el espacio métrico que mencionas es el espacio euclídeo?

Un saludo

[Masacroso]

sería más sencillo utilizar el siguiente teorema general para límites de funciones en espacios métricos (o topológicos):

- Si \( \lim_{v\to w}f(v)=L_1 \) y \( \lim_{v\to w}g(v)=L_2 \) entonces \( \lim_{v\to w}h(f(v),g(v))=h(L_1,L_2) \) para cualquier función continua \( h \).

(i) \( \displaystyle\lim_{y \to{2}}{y}=2 \), dado que el eje de ordenadas es continuo.

(ii) \( \sin{\cfrac{x}{y}} \) es continua si \( \displaystyle\lim_{(x,\,y)\rightarrow{(\pi/3,\,2)}}{\sin{\bigg (\cfrac{x}{y}}\bigg )}=f(\pi/3,\,2) \)

Es continua para \( \mathbb{R}\setminus{\{0\}} \), luego el límite coincide con el valor que toma la función en \( (\pi/3,\,2) \)

Masacroso, ¿el espacio métrico que mencionas es el espacio euclídeo?

Un saludo

El teorema que dejé antes sirve para cualquier espacio métrico. Los espacios euclídeos son casos particulares de espacios métricos.

[Marcos Castillo]

Estimado Rincón, Masacroso, ¿cómo o qué pistas tendría para realizar una prueba formal \( \epsilon/\,\delta \)?.

[Masacroso]

Estimado Rincón, Masacroso, ¿cómo o qué pistas tendría para realizar una prueba formal \( \epsilon/\,\delta \)?.

Es que eso depende mucho de los resultados que ya previamente conozcas. Me refiero, que la estrategia usada para una demostración \( \epsilon -\delta  \) dependerá de lo que puedas usar. A mí me parece extraño que en el libro que sigas pidan una demostración de ese tipo para una expresión de ese tipo, salvo que puedas apelar a teoremas de continuidad como el que te he dejado más arriba.

Yo no veo una forma, ni clara ni bonita, de hacer una demostración \( \epsilon -\delta  \) sin usar ningún recurso más que la definición de límite, para demostrar el límite de esa expresión. De hecho la función seno es trascendental, algún resultado no trivial tendrás que aplicar de tal función para hallar el límite buscado, como por ejemplo que es continua. Tendría que ver el libro de donde has sacado el ejercicio para ver los resultados anteriores que puedas usar para hacer la demostración.

En principio podrías demostrar que las funciones definidas en mi respuesta anterior son todas continuas, utilizando para ello argumentos de tipo \( \epsilon -\delta  \), exceptuando quizá la función seno.

[Luis Fuentes]

Hola

 Como dice Masacroso no es muy buena idea escribir una demostración en bruto de este límite simplemente por definición.

 Lo que uno hace para estos límites es justificar su valor, en base a teoremas que relacionan los límites de sumas, producto, composiciones y otras operaciones entre ellas.

 Si aun así uno se empeña una idea podría ser una descomposición así:

\( |ysin(x/y)-1|=|ysin(x/y)-2sin(x/y)+2sin(x/y)-1|\leq \\\leq |(y-2)sin(x/y)|+2|sin(x/y)-sin(\pi/6)|=\\=|(y-2)sin(x/y)|+4|cos((x/y+\pi/6)/2)sin((x/y-\pi/6)\color{red}/2\color{black})|\leq \\
\leq |(y-2)sin(x/y)|+\color{red}2\color{black}|cos((x/y+\pi/6)/2)||x/y-\pi/6| \)

 Y tener en cuenta también que:

 \( \left|\dfrac{x}{y}-\dfrac{\pi/3}{2}\right|=\dfrac{|2x-y(\pi/3)|}{|2y|}\leq\\\leq \dfrac{|(2-y)x+y(x-\color{red}\pi/3\color{black})|}{|2y|}\leq \dfrac{|y-2|x}{2|y|}+\dfrac{y|x-\color{red}\pi/3\color{black}|}{|2y|}  \)

 Esto te deja muy cerquita de la prueba...

Saludos.

CORREGIDO

[Marcos Castillo]

Como dice Masacroso no es muy buena idea escribir una demostración en bruto de este límite simplemente por definición.

Lo que uno hace para estos límites es justificar su valor, en base a teoremas que relacionan los límites de sumas, producto, composiciones y otras operaciones entre ellas.

Sí.

Si aun así uno se empeña una idea podría ser una descomposición así:

\( |y\sin(x/y)-1|=|y\sin(x/y)-2\sin(x/y)+2\sin(x/y)-1|\leq \\\leq |(y-2)\sin(x/y)|+2|\sin(x/y)-\sin(\pi/6)|=\\=|(y-2)\sin(x/y)|+4|\cos((x/y+\pi/6)/2)\sin((x/y-\pi/6)|\leq \\
\leq |(y-2)\sin(x/y)|+4|\cos((x/y+\pi/6)/2)||x/y-\pi/6| \)

Y tener en cuenta también que:

 \( \left|\dfrac{x}{y}-\dfrac{\pi/3}{2}\right|=\dfrac{|2x-y(\pi/3)|}{|2y|}\leq\\\leq \dfrac{|(2-y)x+y(x-\pi-3)|}{|2y|}\leq \dfrac{|y-2|x}{2|y|}+\dfrac{y|x-\pi-3|}{|2y|}  \)

Esto te deja muy cerquita de la prueba...

Perfecto. Voy a intentarlo. Estamos.

[Marcos Castillo]

Estimado Rincón, he intentado esto:

(i)\( \,|y\sin(x/y)-1|\Longrightarrow{0<\displaystyle\sqrt{(x-\pi/3)^2+(y-2)^2}}<\delta \). Porque esta raiz cuadrada no sólo es una distancia entre dos puntos, sino también un entorno, una bola abierta, y creo que una prueba \( \epsilon-\delta \) del límite \( \displaystyle\lim_{(x,\,y) \to{(\pi/3,\,2)}}{y\cdot{\sin{\bigg (\cfrac{x}{y}\bigg )}}=1} \) es una forma de probarlo.

(ii) Establecer \( \epsilon(\delta) \)

\( |y\sin(x/y)-1|=|y\sin(x/y)-2\sin(x/y)+2\sin(x/y)-1|\leq \\\leq |(y-2)\sin(x/y)|+2|\sin(x/y)-\sin(\pi/6)|=\\=|(y-2)\sin(x/y)|+4|\cos((x/y+\pi/6)/2)\sin((x/y-\pi/6)\color{red}/2\color{black}|\leq \\
\leq |(y-2)\sin(x/y)|+4|\cos((x/y+\pi/6)/2)||x/y-\pi/6| \)

 Y tener en cuenta también que:

 \( \left|\dfrac{x}{y}-\dfrac{\pi/3}{2}\right|=\dfrac{|2x-y(\pi/3)|}{|2y|}\leq\\\leq \dfrac{|(2-y)x+y(x-\pi-3)|}{|2y|}\leq \dfrac{|y-2|x}{2|y|}+\dfrac{y|x-\pi-3|}{|2y|}  \)

(i)- \( |(y-2)\sin(x/y)|+4|\cos((x/y+\pi/6)/2)||x/y-\pi/6|\leq{|y-2|+|(x/y-\pi/6)/2|}=|y-2|+|x/2y-\pi/3|\leq{|y-2|+|(x/2y)-\pi/3|}\leq{} \)

\( \leq{\displaystyle\sqrt{(y-2)^2}+\displaystyle\sqrt{(x-\pi/3)^2}}<\displaystyle\sqrt{(y-2)^2+(x-\pi/3)^2} \), que es siempre mayor que \( 0 \) y menor que \( \delta \).

(ii)- no sé cómo emplear la pista de la segunda cita para relacionar \( \epsilon \) en función de \( \delta \) .

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Tengo prisa pero:

\(  {\displaystyle\sqrt{(y-2)^2}+\displaystyle\sqrt{(x-\pi/3)^2}} \color{red} > \color{black}\displaystyle\sqrt{(y-2)^2+(x-\pi/3)^2} \), que es siempre mayor que \( 0 \) y menor que \( \delta \).

(ii)- no sé cómo emplear la pista de la segunda cita para relacionar \( \epsilon \) en función de \( \delta \) .

Saludos.