[aurus]

Hola a todos,

Encontré este ejercicio y quería verificar si estoy abordándolo de manera correcta:

Sea \( X \subset \mathbb{R}^n \) un conjunto Jordan medible. Probar que \[\operatorname{int}(X) = \emptyset \iff \operatorname{vol}(X) = 0.\]

Primera implicación: \( \operatorname{vol}(X) = 0 \Rightarrow \operatorname{int}(X) = \emptyset \)
Si \( \operatorname{vol}(X) = 0 \). Por definición de medida de Jordan, para todo \( \varepsilon > 0 \), existe una colección finita (o numerable) de cubos abiertos \( \{C_i\}_{i \in \mathbb{N}} \) tal que:\[X \subseteq \bigcup_{i \in \mathbb{N}} C_i \quad \text{y} \quad\sum_{i=1}^\infty\operatorname{vol}(C_i) < \varepsilon.\]
Supongamos, por contradicción, que \( \operatorname{int}(X) \neq \emptyset \). Entonces existe \( x \in X \) y \( r > 0 \) tal que la bola abierta \( B(x, r) \subset X \). Como las bolas abiertas tienen volumen positivo,
\[\operatorname{vol}(B(x, r)) > 0,\] pero eso contradice el hecho de que \( X \) puede ser cubierto por cubos de volumen total arbitrariamente pequeño. Esto se debe a que ningún conjunto que contiene una bola puede tener volumen cero.

Por lo tanto,  \( \operatorname{int}(X) = \emptyset \).

Segunda implicación: \( \operatorname{int}(X) = \emptyset \Rightarrow \operatorname{vol}(X) = 0 \)

Sea \( X \in \mathcal{J}(\mathbb{R}^n) \) y supongamos que \( \operatorname{int}(X) = \emptyset \). Entonces, como
\[\overline{X} = \operatorname{int}(X) \cup \partial X,\] se sigue que \( \overline{X} = \partial X \).

Por la propiedades de la medida de Jordan, se cumple:\[\operatorname{vol}(X) = \operatorname{vol}(\overline{X}).\]

Sustituyendo:\[\operatorname{vol}(X) = \operatorname{vol}(\partial X).\]

Pero  la frontera de un conjunto Jordan medible tiene volumen cero. Por tanto:\[\operatorname{vol}(X) = 0.\]


¿Les parece correcta esta solución? ¿Alguien conoce una forma alternativa o más directa de probar esta equivalencia?

[Masacroso]

Parece correcto, siempre y cuando puedas demostrar que \( \overline{X}\in \mathcal{J}(\mathbb{R}^n) \) y que \( \operatorname{vol}(X) = \operatorname{vol}(\overline{X}) \). Nunca he tratado el tema de la "medida" de Jordan, así que en eso no te puedo orientar.

[ani_pascual]

Hola:

Parece correcto, siempre y cuando puedas demostrar que \( \overline{X}\in \mathcal{J}(\mathbb{R}^n) \) y que \( \operatorname{vol}(X) = \operatorname{vol}(\overline{X}) \). Nunca he tratado el tema de la "medida" de Jordan, así que en eso no te puedo orientar.

Aunque no sé de estos asuntos, lo que sí he leído es que si un conjunto   \( A\subset \mathbb{R}^n \) es medible Jordan entonces tanto su interior, \( \stackrel{\circ}{A} \) como su adherencia \( \overline{A} \) son medibles Jordan y además se cumple que tienen el mismo volumen.
Saludos

[aurus]

Hola, gracias por sus respuestas. Espero que esta demostración sea correcta.

Sea \( X \subset \mathbb{R}^m \). Si \( X \) es \( \mathcal{J} \)-medible, entonces su clausura \( \overline{X} \) también lo es.

Recordamos que un conjunto es \( \mathcal{J} \)-medible si y solo si su frontera tiene  \( m \)-medida cero, es decir, puede cubrirse con una colección numerable de cubos abiertos cuya suma de volúmenes es tan pequeña como se desee.

Supongamos que \( X \in \mathcal{J}(\mathbb{R}^m) \). Entonces \( X \) es acotado. Como \( \overline{X} \) contiene a \( X \), también es acotado y la frontera de \( X \), denotada por \( \partial X \), tiene  \( m \)-medida cero.

Dado que \( \partial(\overline{X}) \subset \partial X \), se sigue que \( \partial(\overline{X}) \) también tiene medida \( m \)-cero, ya que cualquier subconjunto de un conjunto de medida \( m \)-cero también tiene  \( m \)-medida cero.

Por tanto, \( \overline{X} \) es acotado y su frontera tiene \( m \)-medida cero. Esto implica que \( \overline{X} \in \mathcal{J}(\mathbb{R}^m) \).

Ahora veamos si los volúmenes son los mismos.

Si \( X \in \mathcal{J}(\mathbb{R}^m) \), entonces \( \mathrm{vol}(X) = \mathrm{vol}(\overline{X}) \).

Como \( X \subset \overline{X} \), podemos escribir: \[\overline{X} = X \cup (\overline{X} \setminus X),\]

donde la unión es disjunta. Por aditividad del volumen: \[\mathrm{vol}(\overline{X}) = \mathrm{vol}(X) + \mathrm{vol}(\overline{X} \setminus X).\]

Notamos que \( \overline{X} \setminus X \subset \partial X \), y dado que \( X \in \mathcal{J}(\mathbb{R}^m) \), se tiene que \( \partial X \) tiene \( m \)-medida cero. Por tanto: \[\mathrm{vol}(\overline{X} \setminus X) = 0,\]

y así: \[\mathrm{vol}(\overline{X}) = \mathrm{vol}(X).\]

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( X \subset \mathbb{R}^m \). Si \( X \) es \( \mathcal{J} \)-medible, entonces su clausura \( \overline{X} \) también lo es.

Recordamos que un conjunto es \( \mathcal{J} \)-medible si y solo si su frontera tiene  \( m \)-medida cero, es decir, puede cubrirse con una colección numerable de cubos abiertos cuya suma de volúmenes es tan pequeña como se desee.

Supongamos que \( X \in \mathcal{J}(\mathbb{R}^m) \). Entonces \( X \) es acotado. Como \( \overline{X} \) contiene a \( X \), también es acotado y la frontera de \( X \), denotada por \( \partial X \), tiene  \( m \)-medida cero.

Dado que \( \partial(\overline{X}) \subset \partial X \), se sigue que \( \partial(\overline{X}) \) también tiene medida \( m \)-cero, ya que cualquier subconjunto de un conjunto de medida \( m \)-cero también tiene  \( m \)-medida cero.

Por tanto, \( \overline{X} \) es acotado y su frontera tiene \( m \)-medida cero. Esto implica que \( \overline{X} \in \mathcal{J}(\mathbb{R}^m) \).

Está bien.

Saludos.