[Masacroso]

Sea \( f:X\to \mathbb{R} \) una función acotada, quiero hallar una demostración de la desigualdad

\[
\sup |f|-\inf|f|\leqslant \sup f-\inf f
\]

lo más corta posible. Se me ocurren algunas pero intuitivamente me parecen más laboriosas de lo esperado, lo más corto que he encontrado es lo siguiente:

1. Primero demostrar que \( \sup |f|=(\sup f)\,\lor\, (-\inf f) \) e \( \inf |f|\geqslant -\sup f \).

2. Luego dividir en dos casos: si \( \sup|f|=\sup f \) entonces teniendo en cuenta que \( \inf f\leqslant \inf |f| \) llegamos fácilmente al resultado deseado. Si por el contrario \( \sup|f|=-\inf f \) entonces con \( \inf |f|\geqslant -\sup f \) llegamos nuevamente al resultado, completando la demostración.

[ani_pascual]

Hola:

Sea \( f:X\to \mathbb{R} \) una función acotada, quiero hallar una demostración de la desigualdad

\[
\sup |f|-\inf|f|\leqslant \sup f-\inf f
\]

...

¿Estás seguro de esa desigualdad?
Si elegimos \( g\equiv k>0, f\equiv -k<0 \), funciones constantes, entonces \( \sup |f|-\inf |g|=k-k=0\nleq -2k=-k-k=\sup f-\inf g \)
Saludos

[Masacroso]

Hola:

Sea \( f:X\to \mathbb{R} \) una función acotada, quiero hallar una demostración de la desigualdad

\[
\sup |f|-\inf|f|\leqslant \sup f-\inf f
\]

...

¿Estás seguro de esa desigualdad?
Si elegimos \( g\equiv k>0, f\equiv -k<0 \), funciones constantes, entonces \( \sup |f|-\inf |g|=k-k=0\nleq -2k=-k-k=\sup f-\inf g \)
Saludos

ani_pascual, observa que sólo hay una función involucrada, no dos.

[ani_pascual]

Hola,,,;

...
ani_pascual, observa que sólo hay una función involucrada, no dos.

Estoy haciendo méritos para ser socio honorífico del club de cegatos de este foro...
Saludos

[Carlos Ivorra]

A ver así:

Si \( f\geq 0 \), entonces \( f = |f| \) y la desigualdad que hay que probar es trivial.

Si  \( f\leq 0 \), entonces \( f = -|f| \), luego \( \sup |f|-\inf |f| = \sup (-f)-\inf (-f) = -\inf f+\sup f \).

Por lo tanto, podemos suponer que \( f \) toma ambos signos, con lo que \( \sup f > 0 \) e \( \inf f < 0 \).

Como \( \pm f\leq |f| \), tenemos que \( \sup f\leq \sup |f| \), \( -\inf f = \sup (-f) \leq \sup |f| \).

Pero las dos desigualdades no pueden ser estrictas, ya que en tal caso podríamos tomar un \( c \) tal que \( \sup f \leq c< \sup |f| \) y \( \sup (-f) \leq c<\sup |f| \), pero entonces, para todo \( x \), sería \( f(x)\leq \sup f\leq  c \) y \( -f(x)\leq \sup(-f)\leq c \), luego \( |f(x)|\leq c \), luego \( \sup |f|\leq c<\sup |f| \).

Así pues, o bien \( \sup f =\sup |f| \) o bien  \( -\inf f = \sup |f| \).

Pero entonces \( \sup |f| - \inf |f| \leq \sup |f| \leq \sup f + (-\inf f) \), porque los dos últimos términos son ambos positivos y uno de los dos es igual a \( \sup |f| \).

[ani_pascual]

Hola:
Aunque veo que ya se ha adelantado Carlos Ivorra dejo en spoiler lo que había planteado yo, tras aclarame los ojos y leer el enunciado correcto...

Spoiler

En caso de que \( \sup f\geq 0 \) entonces \( \sup |f|=\sup f \) y como siempre es \( \inf f\leq\inf |f| \) se tiene que \( \sup|f|-\inf |f|=\sup f-\inf |f|\leq \sup f-\inf f \).
En caso de que \( \sup f\leq 0 \) entonces, al ser \( \inf f\leq \sup f\leq 0 \) se tiene \( \sup |f|=-\inf f  \) e \( \inf |f|=-\sup f \) de donde \( \sup |f|-\inf |f|=-\inf f-(-\sup f)=\sup f-\inf f \)

[cerrar]

Saludos

[Carlos Ivorra]

En caso de que \( \sup f\geq 0 \) entonces \( \sup |f|=\sup f \) y como siempre es \( \inf f\leq\inf |f| \) se tiene que \( \sup|f|-\inf |f|=\sup f-\inf |f|\leq \sup f-\inf f \).
En caso de que \( \sup f\leq 0 \) entonces, al ser \( \inf f\leq \sup f\leq 0 \) se tiene \( \sup |f|=-\inf f  \) e \( \inf |f|=-\sup f \) de donde \( \sup |f|-\inf |f|=-\inf f-(-\sup f)=\sup f-\inf f \)

La frase en rojo es falsa. Piensa en \( f(x) = x \) en el intervalo \( [-2, 1] \). Ahí \( \sup f = 1 >0 \), pero \( \sup |f| = 2 \).

[Masacroso]

Gracias Carlos y ani_pascual. Nada, buscaba a ver si existía algún "truco" para demostrar esa desigualdad en una línea, algún tesuji matemático (los que alguna vez hayan sido aficionados al go sabrán a qué me refiero), porque parece "simple" a primera vista, pero luego a la hora de demostrarla vi que la demostración se alargaba más de lo que me gustaría.

Por si interesa: esta desigualdad aparece implícitamente en una demostración sobre la teoría integral de Lebesgue (desarrollada de manera algo inusual a lo habitual en el libro de análisis funcional de Vladimir Kadets) donde se demuestra que si \( f \) es Lebesgue integrable, también lo es \( |f| \) (básicamente, demuestra que la diferencia entre sumas superiores e inferiores de \( |f| \) es menor a la misma diferencia entre sumas superiores e inferiores de \( f \), usando una aproximación a la teoría de la integral de Lebesgue muy similar a la de Riemann para su integral).

[ani_pascual]

Hola:

...
La frase en rojo es falsa. Piensa en \( f(x) = x \) en el intervalo \( [-2, 1] \). Ahí \( \sup f = 1 >0 \), pero \( \sup |f| = 2 \).

Tienes razón. Ha sido un gazapo involuntario... 
Creo que otra forma equivalente de probarlo sería usando las partes positiva y negativa de \( f \).
Es claro que si  \(  \sup f\leq 0\,\, (f\leq 0)\,\vee\, \inf f \geq 0\,\, (f\geq 0) \) la desigualdad es trivial.
En el caso  \( \sup f>0 \,\wedge\inf f <0 \)
se podría usar que \( |f|=f^{+}+f^{-} \) y que \( \sup |f|=\max\{\sup f^{+},\sup f^{-}\} \).
De este modo, creo que se podría argumentar también así:
Si es \( \sup |f|=\sup f^{+}=\sup f \) entonces \( \sup |f|-\inf |f|=\sup f-\inf |f|\leq \sup f -\inf f \), ya que \( \inf f\leq \inf |f| \).
Y si es \( \sup |f|=\sup f^{-}=-\inf f \), entonces
\( \sup |f|-\inf |f|=-\inf f-\inf |f|\leq -\inf f +\sup f \) ya que \( -\inf |f|\leq  \sup f \)
¿Ves algún otro gazapo? 
Saludos

[Carlos Ivorra]

¿Ves algún otro gazapo? 

No.