[iuxta_illud]

Hola, qué tal, cómo va. Quisiera hacer una consulta sobre lo siguiente:

Supóngase que S y R son relaciones en A. S es una relación de equivalencia. R es compatible con S si:
\(  \forall{x,x',y,y'}\in{A}((xSx'\wedge ySy') \Rightarrow{(xRy \Leftrightarrow{x'Ry'}})) \)

Ahora bien:
Si R es compatible con S, demostrar: existe una única relación T en el conjunto cociente \(  A/S  \) tal que \(  \forall{x,y\in{A}}([x]_ST[y]_S\Leftrightarrow{xRy}) \)

1. No entiendo cómo se demuestra esto porque no le encuentro el sentido. Intentando y viendo la solución, se propone la existencia del conjunto de la relación T pero posteriormente no sé cómo puedo "construir" la demostración.
2. Tampoco entiendo el sentido de la compatibilidad. ¿Quiere decir que R relaciona dos clases de equivalencia de S? Luego, ¿cómo esa idea se aplica a la demostración?

Muchas gracias.

[ani_pascual]

Hola:

... Quisiera hacer una consulta ...

Que es única parece evidente ya que \( T \) está definida por medio de \( R \), es decir, si \( V \) es otra relación en \( A/S \) tal que \( ([x]_S,[y]_S)\in V \Longleftrightarrow (x,y)\in R \) entonces \( ([x]_S,[y]_S)\in T \) y recíprocamente. Así pues, creo que solo hay que ver qué está bien definida, es decir, que si \( [x]_S=[x']_S\,\,\wedge\,\, [y]_S=[y']_S \) entonces \( ([x]_S,[y]_S)\in T\Longleftrightarrow ([x']_S,[y']_S)\in T \). Pero esto es cierto porque \( R \) es compatible con \( S \).
Saludos

[Carlos Ivorra]

2. Tampoco entiendo el sentido de la compatibilidad. ¿Quiere decir que R relaciona dos clases de equivalencia de S?

Quiere decir que, a la hora de determinar si se cumple \( x R y \), no pasa nada si cambias \( x \) por un \( x' \) que cumpla \( x S x' \) y si cambias \( y \) por un \( y' \) que cumpla \( y S y' \).

Piensa en la relación R = "tener un antepasado en común" y la relación S = "ser hermanos". No son la misma relación, pero R es compatible con S, porque si Juan y Jorge son hermanos y Ana y Alicia son hermanas, es lo mismo comprobar si Juan y Ana tienen un antepasado en común que comprobar si lo tienen Jorge y Alicia.

Por ejemplo, si Juan y Ana tienen un bisabuelo en común, dicho bisabuelo lo será también de Jorge y Alicia, luego también ellos tienen un antepasado en común.

[iuxta_illud]

Entendí.

Muchísimas gracias.

Saludos.