[Raugl_]

Buenas, les adjunto un problema que he estado intentando por varias horas ya, y es que después de usar la propiedad de la derivada de la transformación de Laplace, no veo la manera de obtener una solución a la EDO que queda ya que está ahí la g(x) sin definir y si quisiera hacerlo mediante resolver primero la homogénea, no sabría cómo hallar la solución particular después. Muchas gracias por la ayuda de antemano y perdonen si este no es el lugar donde preguntar, justo me he registrado en el foro y pensé que este sería el lugar adecuado.

Resuelva encontrando \( u(x,t) \) aplicando la transformada de Laplace a la ecuación del telégrafo:

\[
u_{tt}-c^2 u_{x x}+2au_t=0;\, -\infty <x<\infty ;\, t>0;\, u(x,0)=0;\,u_t(x,0)=g(x)
\]

y analice la solución encontrada

Un saludo.

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[Masacroso]

Debe ser la transformada de Laplace respecto a \( t \) de la función \( u \), ya que \( t>0 \), entonces si definimos \( U(x,s):=\int_{0}^{\infty }e^{-st}u(x,t)\,d t \) entonces aplicada esta transformada a la ecuación y usando algunas de sus propiedades nos queda

\[
(s^2+2as) U(x,s)-c^2U_{x x}(x,s)=g(x)
\]

que es una ODE lineal de segundo grado respecto de \( x \) de la forma \( d y(x)-c^2 y''(x)=g(x) \) para constantes \( d,c \), pero que yo sepa no existe ninguna solución "cerrada" de esta ecuación para una función \( g \) arbitraria. Lo que se podría hacer es aplicar la transformada de Fourier, respecto de \( x \) (asumiendo que \( U \) y \( g \) tienen tal transformada), para transformar la ecuación en una algebraica, y más tarde expresar la "solución" simbólicamente aplicando las transformadas inversas correspondientes.

[Raugl_]

Comprendo, intentaré continuar por ese camino (justo he trabajado con transformadas de Fourier antes de empezar con las de Laplace así que me ayudará a practicar también). Muchas gracias por la respuesta, siento no haber escrito en LaTex el enunciado, lo tendré en cuenta la próxima vez. Un saludo

[Masacroso]

He estado probando la IA de qwen3, la última que ha salido, y me ha venido bien en este caso para resumir la teoría para hallar la solución general a una ecuación diferencial de la forma \( y''(x)=c\cdot y(x)+f(x) \) para \( c \) constante. Éste es el resumen que me ha dado (esta técnica la había olvidado):

Sí, existe una solución general para la ecuación diferencial $$ y''(x) = c \cdot y(x) + f(x) $$, que puede expresarse de forma simbólica. Esta solución se compone de dos partes:

1. Solución homogénea ($$ y_h $$): 

Corresponde a la solución de la ecuación homogénea asociada $$ y'' - c \cdot y = 0 $$. Dependiendo del valor de la constante \( c \), la solución homogénea toma diferentes formas:
   - Si $$ c > 0 $$, la solución es $$ y_h(x) = C_1 e^{\sqrt{c}x} + C_2 e^{-\sqrt{c}x} $$, donde $$ C_1 $$ y $$ C_2 $$ son constantes arbitrarias.
   - Si $$ c < 0 $$, con $$ c = -k^2 $$, la solución es $$ y_h(x) = C_1 \cos(kx) + C_2 \sin(kx) $$.
   - Si $$ c = 0 $$, la solución es lineal: $$ y_h(x) = C_1 + C_2 x $$.

2. Solución particular ($$ y_p $$):

Para la ecuación no homogénea $$ y'' - c \cdot y = f(x) $$, la solución particular depende de la función arbitraria $$ f(x) $$. Métodos como variación de parámetros o función de Green permiten expresar $$ y_p $$ en términos de integrales que involucran $$ f(x) $$. Por ejemplo, usando variación de parámetros, si $$ y_1(x) $$ y $$ y_2(x) $$ son soluciones de la ecuación homogénea, entonces:

$$
\displaystyle{ y_p(x) = -y_1(x) \int \frac{y_2(t) f(t)}{W(y_1, y_2)(t)} dt + y_2(x) \int \frac{y_1(t) f(t)}{W(y_1, y_2)(t)} dt,}
$$

donde $$ W(y_1, y_2) $$ es el wronskiano de $$ y_1 $$ y $$ y_2 $$. Por lo tanto, la solución general completa es:

$$
\displaystyle{ y(x) = y_h(x) + y_p(x),}
$$

donde $$ y_h $$ incluye las constantes arbitrarias $$ C_1, C_2 $$, y $$ y_p $$ depende explícitamente de la integral de $$ f(x) $$. Esta estructura refleja que la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea es la suma de la solución homogénea y una solución particular.

Igualmente quedaría una solución simbólica con integrales, que no parece ser especialmente útil a la hora de estudiar la ecuación.

[Raugl_]

Mmm, es la técnica que he acabado usando, al no ver otra forma que obteniendo la solución homogénea primero, es la única opción viable que he visto, al no tener condiciones de contorno para x no se pueden siquiera obtener los coeficientes, por lo que a lo mejor el profesor pensó en otro camino (en mi opinión, sin ánimo a ofender, el profesor no es muy bueno que digamos así que no estoy seguro de que haya resuelto el ejercicio realmente antes de escribirlo). En cuanto el profesor lo resuelva, adjuntaré la solución en un nuevo mensaje o la escribiré por si te queda curiosidad jeje. Muchas gracias ü.

[ani_pascual]

He estado probando la IA de qwen3, la última que ha salido, y me ha venido bien en este caso para resumir la teoría para hallar la solución general a una ecuación diferencial de la forma \( y''(x)=c\cdot y(x)+f(x) \) para \( c \) constante. Éste es el resumen que me ha dado (esta técnica la había olvidado):
...

La ecuación es un ejemplo concreto de EDO lineal completa con coeficientes constantes, en este caso de orden dos. Como dices que tenías olvidado el método... vamos a recordarlo...
En general, para resolver una EDO lineal completa de orden \( n \) con coeficientes constantes,
\( y^{n)}(x)+a_{n-1}y^{n-1)}(x)+\cdots +a_1y'(x)+a_0y(x)=f(x) \)
la solución general viene dada como suma de una solución particular de la completa, \( y_p \), más la solución general, \( y_h \), de la EDO lineal homogénea asociada.
Para obtener \( y_h \) se resuelve la ecuación característica asociada a la EDO y en función de sus raíces y de sus órdenes de multiplicidad se obtienen \( n \) soluciones linealmente independientes de la EDO lineal homogénea y se expresa \( y_h \) como combinación lineal de todas ellas:
\( y_h=C_1y_1+\cdots +C_ny_n \).
Para hallar una solución particular \( y_p \) de la EDO lineal completa, hay varios métodos. Uno de ellos es el llamado variación de las constantes y consiste en buscar una solución particular de la EDO lineal completa de la forma  \( y_p(x)=C_1(x)y_1(x)+\cdots +C_n(x)y_n(x) \).
Resolviendo el sistema
\( \left\{\begin{array}{lcl}C_1'y_1+\cdots +C_n'y_n&=&0\\C_1'y_1'+\cdots +C_n'y_n'&=&0\\\vdots&\vdots &\vdots\\C_1'y_1^{n-1}+\cdots +C_n'y_n^{n-1}&=&f\end{array}\right. \) se hallan las funciones \( C_j,\,j=1,\ldots, n \) y se concluye expresando la solución general de la EDO lineal completa como \( \boxed{y=y_h+y_p} \)
Hay otros métodos para hallar \( y_p \), como el llamado método de los coeficientes indeterminados, pero éste solo es válido para ciertos tipos de funciones \( f \),
Saludos

[Raugl_]

Buenas, al final, en clase nos ha dado una idea de que podemos ir por el camino de aplicar la transformada de Laplace y de Fourier en ese ejercicio, entonces después de la de Laplace, he aplicado la de Fourier, despejado U(k, s), y de ahí, hice la transformada inversa de Laplace de U(k, s) con el Teorema de expansión de Heaviside, dejando la expresión como U(k, t). Por último, solo hay que aplicar el teorema de convolución sabidas la inversa de g(k), que la sabemos por el enunciado (como función arbitraria), y la del otro término que queda. Lo malo, que el segundo término es totalmente criminal y cuando intenté conseguir su transformada inversa de Fourier quedaba una integral entre menos y más infinito tal que así:
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\frac{sinh(t\sqrt{a^2 - c^2 k^2})}{\sqrt{a^2 - c^2 k^2}} e^{ikx} \hspace{3pt} dx \)

Por lo que después de intentar con algún modelo de inteligencia artificial obtener un resultado de la integral desistí, pero creo que todo el desarrollo hasta ahí puede estar bien.

Un saludo, y gracias a quienes contestaron (si obtengo la respuesta hecha por el profesor la enviaré).