[ani_pascual]

Hola:
Propongo otro ejercicio para usar la ecuación de la catenaria... 
Un cable \( AB \), pesado y homogéneo, cuyo peso por unidad de longitud de cable es \( q \), está suspendido entre dos apoyos situados a la misma altura, el \( A \) que es fijo, y el \( B \) que es móvil, y está conectado mediante un cable ideal (inextensible y carente de masa) con un bloque de peso \( 3qL \). El contacto con la pequeña polea ideal no presenta rozamiento. Del punto central \( C \) del cable \( AB \), pende un bloque de peso \( 2qL \). Para la posición de equilibrio y en función de la separación horizontal \( L \) entre los apoyos \( A \) y \( B \), el problema pide:
1) Longitud \( l \) total del cable \( AB \)
2) Valor de la cota vertical \( f \) existente entre la horizontal de \( AB \) y el punto \( C \)
Nota: Unidades en el S.I.

Resultados

1) \( l=s_{AB}=1,086L \)
3) \(  f=0,212L  \)

[cerrar]

Saludos

[Richard R Richard]

Hola ani_pascual, interesantes estos problemas, poco puedo aportar como solución porque mas bien participaré en el hilo solo para aprender, (mi ingeniería fue la industrial y no la civil, de catenaria solo sabía el nombre y creo alguna vez vi la fórmula). Pero me entró una duda, si sumo las masas de cuerda y de la suspendida en medio entre A y B entiendo que es mayor que la de la pesa en el lado derecho , puesto que la longitud de la cuerda es evidentemente mayor a L, entonces me pregunto si el sistema es estático o dinámico,(hay o no aceleración de los bloques) es decir hay un equilibrio de la tensión o las reacciones en los anclajes  juegan un papel que no me doy cuenta en este momento. Si quieres pongo esto en Spoiler si te quita gracia para otro que lo intente.

Edito. rumiandolo un poco mas ... tengo que pensarlo como una máquina de atwood? Es decir en C no hay ligadura, es un punto movil que desliza sobre la cuerda y se ubica siempre al centro de AB.
 

[ani_pascual]

Hola:

Hola ani_pascual, interesantes estos problemas, poco puedo aportar como solución porque mas bien participaré en el hilo solo para aprender, (mi ingeniería fue la industrial y no la civil, de catenaria solo sabía el nombre y creo alguna vez vi la fórmula). Pero me entró una duda, si sumo las masas de cuerda y de la suspendida en medio entre A y B entiendo que es mayor que la de la pesa en el lado derecho , puesto que la longitud de la cuerda es evidentemente mayor a L, entonces me pregunto si el sistema es estático o dinámico,(hay o no aceleración de los bloques) es decir hay un equilibrio de la tensión o las reacciones en los anclajes  juegan un papel que no me doy cuenta en este momento. Si quieres pongo esto en Spoiler si te quita gracia para otro que lo intente.

Edito. rumiandolo un poco mas ... tengo que pensarlo como una máquina de atwood? Es decir en C no hay ligadura, es un punto movil que desliza sobre la cuerda y se ubica siempre al centro de AB.

Hola, Richard R Richard;
La respuesta que te voy a dar es solo de aficionado, pues de Mecánica ... lo justo. 
He interpretado que es un equilibrio estático debido a las tensiones del cable, que adopta de manera simétrica a ambos lados del punto \( C \) (que supongo libre y se va al centro) la forma de la catenaria, en la que la tensión tiene siempre una componente horizontal constante en todos los puntos y una componente vertical directamente proporcional a la longitud de arco.
Esperaré un tiempo a poner mi propuesta de resolución, que obviamente está abierta a refutación y/o corrección...   
Asimismo, sería de agradecer que aquellos foristas que dominan el tema hicieran alguna aportación...
Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Aunque me parece un ejercicio sumamente interesante, si no he escrito nada antes, es para no ser aguafiestas, pues me parece que al haber una carga concentrada en el cable (la situada en \( C \)), éste ya no describe una catenaria.

En este momento, no se me ocurre como enfocarlo. Siento no poder ser de más ayuda.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola a tod@s.

Aunque me parece un ejercicio sumamente interesante, si no he escrito nada antes, es para no ser aguafiestas, pues me parece que al haber una carga concentrada en el cable (la situada en \( C \)), éste ya no describe una catenaria.

En este momento, no se me ocurre como enfocarlo. Siento no poder ser de más ayuda.

Saludos cordiales,
JCB.

Hola, JCB, es que parece describe 2 catenarias a ambos lados de C, hasta los apoyos, allí la tensión lateral es constante y la vertical aumenta linealmente con la longitud y esta "hiperbolicamente" con la altura, creo que son las condiciones para que la curva sea una catenaria.

Spoiler

Apoyo derecho
$$\sum F_y=0=T_y-3mgL$$
$$\sum F_x=0=R_x-T_x$$

Apoyo izquierdo
$$\sum F_y=0=T_y-R_y$$
$$\sum F_x=0=-R_x+T_x$$

En C

$$\sum F_y=2T_c-2mgL=0$$
$$\sum F_x=0=T_x-T_x$$


$$T_x $$ es constante  a lo lago de la cuerda  luego cumple con la solicitaron para la catenaria.


Ahora el resto de los cálculos, no me animo, solo repetiría formulas basicas sin un sentido muy  comprendido.

[cerrar]

[ani_pascual]

Hola:

...
Aunque me parece un ejercicio sumamente interesante, si no he escrito nada antes, es para no ser aguafiestas, pues me parece que al haber una carga concentrada en el cable (la situada en \( C \)), éste ya no describe una catenaria.

En este momento, no se me ocurre como enfocarlo. Siento no poder ser de más ayuda.
...
JCB.

Gracias por esta aportación JCB; es probable que tengas razón, no lo sé. El ejercicio está extraído de una colección de exámenes antiguos del Departamento de Ingeniería Mecánica de una Escuela de Ingeniería de una Universidad española, más concretamente, es el problema de Estática del examen final de la asignatura Mecánica Aplicada de hace unos años. Cuando lo leí enseguida se me ocurrió asociarlo a la catenaria y es como lo he abordado, tal y como se refleja en la resolución que añadiré más adelante. Ya diréis si lo veis acertado o no.
Saludos

[Masacroso]

La cuerda entera no describe una catenaria, para decir esto me baso en mi experiencia del mundo real en la que si cuelgas un peso de una cuerda en ese punto hace un pico (no diferenciable). Lo que sí seguramente sean catenarias son las curvas desde el peso central a cada extremo, al A o al B. Entonces serían dos catenarias simétricas respecto del punto central.

Sería capaz de plantear el ejercicio utilizando cálculo de variaciones, tomando como premisa que las curvas desde el peso central a cada lado son simétricas, pero no sé muy bien cómo afectan los pesos al valor de \( L \) y \( f \) respectivamente. Dicho de otro modo: si los valores de C y la componente horizontal de B fuesen valores fijos se puede resolver como digo usando cálculo de variaciones, pero al ser móviles no me queda muy claro cómo podría plantear el equilibrio estático.

[ani_pascual]

Hola:

Una propuesta de resolución

Si suponemos que la ecuación de la catenaria correspondiente al tramo del cable \( CB \) es \( y=y_0\cosh\left(\dfrac{x}{y_0}\right)  \), se verifica que la componente horizontal de la tensión en el apoyo \( B \) es \( T_{B_x}=3qL \) o equivalentemente \( qy_0=3qL \) de donde \( y_0=3L \).
Por otra parte, en el punto \( C \) se cumple que \( 2T_{C_y}=2qL\Longleftrightarrow qs_C=qL\Longleftrightarrow s_C=L\Longleftrightarrow y_0\sinh\left(\dfrac{x_C}{y_0}\right)=L\Longleftrightarrow 3L\sinh\left(\dfrac{x_C}{3L}\right)=L \) y así es \( \sinh\left(\dfrac{x_C}{3L}\right)=\dfrac{1}{3} \) luego \( x_C=3L\sinh^{-1}\left(\dfrac{1}{3}\right)=0,982L \). Por tanto, \( y_C=y_0\cosh\left(\dfrac{x_C}{y_0}\right)=\cdots=3,162L \).
Por otro lado, \( x_B-x_C=\dfrac{L}{2}\Longrightarrow x_B=\dfrac{L}{2}+x_C=1,482L \) con lo que es \( y_B=y_0\cosh\left(\dfrac{x_B}{y_0}\right)=\cdots=3,374L \) y con estos datos se tiene...
1) \( s_{CB}=s_B-s_C=s_B-L=y_0\sinh\left(\dfrac{x_B}{y_0}\right)-L=\cdots =0,543L \) de donde la longitud total del cable será el doble, es decir, \( l=2s_{CB}=\boxed{1,086L} \)
2) \( f=y_B-y_C\Longleftrightarrow \boxed{f=0,212L} \)

[cerrar]

La cuerda entera no describe una catenaria, para decir esto me baso en mi experiencia del mundo real en la que si cuelgas un peso de una cuerda en ese punto hace un pico (no diferenciable). Lo que sí seguramente sean catenarias son las curvas desde el peso central a cada extremo, al A o al B. Entonces serían dos catenarias simétricas respecto del punto central.

¡Claro, claro, eso es lo que intenté expresar a Richard R Richard en el mensaje #2 . Gracias por tu comentario.

Saludos

[Richard R Richard]

Hola:

Una propuesta de resolución

Si suponemos que la ecuación de la catenaria correspondiente al tramo del cable \( CB \) es \( y=y_0\cosh\left(\dfrac{x}{y_0}\right)  \), se verifica que la componente horizontal de la tensión en el apoyo \( B \) es \( T_{B_x}=3qL \) o equivalentemente \( qy_0=3qL \) de donde \( y_0=3L \).
Por otra parte, en el punto \( C \) se cumple que \( 2T_{C_y}=2qL\Longleftrightarrow qs_C=qL\Longleftrightarrow s_C=L\Longleftrightarrow y_0\sinh\left(\dfrac{x_C}{y_0}\right)=L\Longleftrightarrow 3L\sinh\left(\dfrac{x_C}{3L}\right)=L \) y así es \( \sinh\left(\dfrac{x_C}{3L}\right)=\dfrac{1}{3} \) luego \( x_C=3L\sinh^{-1}\left(\dfrac{1}{3}\right)=0,982L \). Por tanto, \( y_C=y_0\cosh\left(\dfrac{x_C}{y_0}\right)=\cdots=3,162L \).
Por otro lado, \( x_B-x_C=\dfrac{L}{2}\Longrightarrow x_B=\dfrac{L}{2}+x_C=1,482L \) con lo que es \( y_B=y_0\cosh\left(\dfrac{x_B}{y_0}\right)=\cdots=3,374L \) y con estos datos se tiene...
1) \( s_{CB}=s_B-s_C=s_B-L=y_0\sinh\left(\dfrac{x_B}{y_0}\right)-L=\cdots =0,543L \) de donde la longitud total del cable será el doble, es decir, \( l=2s_{CB}=\boxed{1,086L} \)
2) \( f=y_B-y_C\Longleftrightarrow \boxed{f=0,212L} \)

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La cuerda entera no describe una catenaria, para decir esto me baso en mi experiencia del mundo real en la que si cuelgas un peso de una cuerda en ese punto hace un pico (no diferenciable). Lo que sí seguramente sean catenarias son las curvas desde el peso central a cada extremo, al A o al B. Entonces serían dos catenarias simétricas respecto del punto central.

¡Claro, claro, eso es lo que intenté expresar a Richard R Richard en el mensaje #2 . Gracias por tu comentario.

Saludos

Ok ,

Spoiler

Cuando te dije lo de la maquina de Atwood era que la tensión se dividía en 2 como a los lados de una polea , en este caso creando el doble de cuerda simétrica a ambos lados, veo que se resuelve de manera similar.


Lo que sigue  es lo que no me doy cuenta , que es realmente $$y_0$$ un parámetro genérico que determina la forma de la cuerda?


Creo que el procedimiento general lo sigo, hasta


\( s_{CB}=s_B-s_C=s_B-L=y_0\sinh\left(\dfrac{x_B}{y_0}\right)-L=\cdots =0,543L \)  ¿Por qué $$S_c= L$$?  o quizá en realidad no entendí nada 


Si no molesta, cuando tengas tiempo, puedes incluir un grafico con las cotas y la nomenclatura.

[cerrar]

[ani_pascual]

Hola:

Ok ,

Spoiler

Cuando te dije lo de la maquina de Atwood era que la tensión se dividía en 2 como a los lados de una polea , en este caso creando el doble de cuerda simétrica a ambos lados, veo que se resuelve de manera similar.


Lo que sigue  es lo que no me doy cuenta , que es realmente $$y_0$$ un parámetro genérico que determina la forma de la cuerda?


Creo que el procedimiento general lo sigo, hasta


\( s_{CB}=s_B-s_C=s_B-L=y_0\sinh\left(\dfrac{x_B}{y_0}\right)-L=\cdots =0,543L \)  ¿Por qué $$S_c= L$$?  o quizá en realidad no entendí nada 


Si no molesta, cuando tengas tiempo, puedes incluir un grafico con las cotas y la nomenclatura.

[cerrar]

Dejo algunas aclaraciones, a ver si consigo explicarme...

Spoiler

Lo que hago es interpretar el tramo de cuerda \( CB \) como un segmento de la catenaria de ecuación \( y=y_0\cosh\left(\dfrac{x}{y_0}\right) \) donde \( y_0 \) es la ordenada en el origen, en principio desconocido, y que está relacionado con la componente horizontal de la tensión, \( T_0 \), que es constante en todos los puntos del cable, es decir, \( y_0=\dfrac{T_0}{q} \).
Como he puesto en la propuesta de resolución, al ser \( 2qL=2T_{C_y} \), se tiene que \( qL=T_{C_y} \), pero la componente vertical de la tensión es proporcional a la longitud de arco, es decir, \( T_{C_y}=qs_C \) de donde \( s_C=L \), siendo \( s_C \) la longitud del segmento de arco imaginario de la catenaria que va del origen hasta \( C \). Es decir, \( s_C=\displaystyle\int_0^{x_C}\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,dx=\displaystyle\int_0^{x_C}\sqrt{1+\sinh^2 \left(\dfrac{x}{y_0}\right))}\,dx=\displaystyle\int_0^{x_C}\cosh\left(\dfrac{x}{y_0}\right)\,dx=\left.y_0\sinh\left(\dfrac{x}{y_0}\right)\right|_0^{x_C}=y_0\sinh \left(\dfrac{x_C}{y_0}\right) \) y como era \( y_0=3L \), se deduce que \( 3L\sinh \left(\dfrac{x_C}{3L}\right)=L\Longrightarrow x_C=0,982L \). Con este valor ya se puede hallar la ordenada \( y_C=3,162L \) así como el valor de de \( x_B \) ya que \( x_B-x_C=\dfrac{L}{2} \) y por tanto se puede calcular \( y_B \) y luego la cota \( f=y_B-y_C \) (apartado 2).
Respecto a tu pregunta del apartado 1), lo que hago es hallar la mitad de la longitud del cable, es decir, del tramo \( CB \) y por simetría, lo multiplico por dos. Lo que uso es la longitud de arco, pues ya conocemos \( s_C=L \) y por otro lado es  \( s_B=\displaystyle\int_0^{x_B}\sqrt{1+\cosh^2\left(\dfrac{x}{y_0}\right)}\,dx=\cdots =y_0\sinh\left(\dfrac{x_B}{y_0}\right) \)
Así
\( s_{CB}=\displaystyle\int_{x_C}^{x_B}\sqrt{1+\cosh^2\left(\dfrac{x}{y_0}\right)}\,dx=\displaystyle\int_0^{x_B}\sqrt{1+\cosh^2\left(\dfrac{x}{y_0}\right)}\,dx-\displaystyle\int_0^{x_C}\sqrt{1+\cosh^2\left(\dfrac{x}{y_0}\right)}\,dx=
s_B-s_C=y_0\sinh\left(\dfrac{x_B}{y_0}\right)-L=\cdots =0,543L \) por lo que la longitud total del tramo del cable \( AB \) es \( l=2\cdot 0,543L=1,086L \)
Adjunto un gráfico, solo del tramo \( CB \), por si te sirve para entender el procedimiento que he seguido.

[cerrar]

Saludos