[petras]

Calcular \( \alpha \)
(Gabarito:\( 10^o \))

[petras]

Um solução trigonometrica..Aguardando uma soluçao geométrica

\( \frac{tan2α}{cot4α}=\frac{CE}{AE}=\frac{tanα}{tan3α}\\

tan2αtan3αtan4α=tanα\\
sin2αsin3αsin4αcosα=cos2αcos3αcos4αsinα\\
(cosα−cos5α)(sin5α+sin3α)=(cosα+cos5α)(sin5α−sin3α)2cosαsin3a=2cos5α\\
sin5αsin2α+sin4α=sin10α\\
sin4α=sin10α−sin2α\\
sin4α=2cos6αsin4α \implies cos6a=\frac{1}{2}\\6α=\frac{π}{3} \therefore  \boxed{\alpha = 10^o}  \)
(Solução: user)

[petras]

Toma \( F \) tal que \( ∆FDC \) isósceles con \( DF=DC \)
=> \( DA \) mediatriz de \( FC \) y \( <ADF=3α \) => <\( DFG=90-3α \)

y como \[ <DAE=90-2α => <FCA=<CFA=2α => F-A-B \] colineales

Ya que \( <ECB=90-3α y <EBA=90-4α => <FCB=<FBC=90-α => FC=FB => F \) es el circuncentro del \( ∆DCB \)”
\( 90-3α=6α => α=10° \)

(Solução porDante)

[Pie]

Toma \( F \) tal que \( ∆FDC \) isósceles con \( DF=DC \)
=> \( DA \) mediatriz de \( FC \) y \( <ADF=3α \) => <\( DFG=90-3α \)

y como \[ <DAE=90-2α => <FCA=<CFA=2α => F-A-B \] colineales

Ya que \( <ECB=90-3α y <EBA=90-4α => <FCB=<FBC=90-α => FC=FB => F \) es el circuncentro del \( ∆DCB \)”
\( 90-3α=6α => α=10° \)

(Solução porDante)

¿Por qué \( F \) es circuncentro de \( \triangle{DCB} \)?

Añadido: Creo que ya lo vi, porque \( FC = FB  \) y \( \widehat{CFB} = 2\widehat{CDB} \), pero creo que habría que aclarar esto último en la solución.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:
Con los cambios de nombres de los vértices me he hecho un lío  ...
Estoy de acuerdo en lo que ha apuntado Pie; no está de más aclarar que \( \triangle{BFC} \) es isósceles y que \( \widehat{BFC}=2\widehat{BDC} \). También se puede concluir diciendo que \( \triangle{DFC} \) es equilátero, luego \( 6\alpha=60^{\circ} \) de donde \( \alpha=10^{\circ} \) 
Saludos