Hola:
Sea \( E \) el conjunto de todas las cadenas binarias de \( 8 \) dígitos. En la ciencia de la computación, estos números se llaman bytes. Dados dos bytes en \( E \): \( a=a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8 \) y \( b=b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8 \) se define la siguiente relación \( aR_1b \longleftrightarrow \displaystyle\sum_{n=0}^{7}a_n=\displaystyle\sum_{n=0}^{7}b_n. \) Estudiar si \( R_1 \) es reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva respectivamente.
Diría que \( R_1 \) es reflexiva, simétrica y transitiva, i.e. una relación de equivalencia.
1) Reflexiva:
Dado \( a=a_0\ldots a_7 \) se cumple que \( \displaystyle\sum_{n=0}^{7}a_n=\displaystyle\sum_{n=0}^{7}a_n \) luego \( aR_1a \)
2) Simétrica:
Si \( aR_1b \) se tiene que \( \displaystyle\sum_{n=0}^{7}a_n=\displaystyle\sum_{n=0}^{7}b_n \) luego \( \displaystyle\sum_{n=0}^{7}b_n=\displaystyle\sum_{n=0}^{7}a_n \) y así \( bR_1a \)
3) Transitiva:
Si \( aR_1b, bR_1c \) se tiene que \( \displaystyle\sum_{n=0}^{7}a_n=\displaystyle\sum_{n=0}^{7}b_n \) y
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{7}b_n=\displaystyle\sum_{n=0}^{7}c_n \)
luego \( \displaystyle\sum_{n=0}^{7}a_n=\displaystyle\sum_{n=0}^{7}c_n \) y
así
\( aR_1c \)
No es antisimétrica.
Ejemplo:
\( a=00000001\\b=00000010 \)
Es \( aR_1b, bR_1a \) pero \( a\neq b \)
Saludos
