[Nahrf]

Hola a todos! Soy nuevo en el foro.

¿Quizás alguien puede resolver alguno de estos ejercicios mediante inducción completo para que yo lo analice? No encuentro mucha información al respecto de esto con ejercicios resueltos. Agradezco desde ya.

4) Demostrar que son verdaderas las siguientes proposiciones:

i) \(  \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (4i - 1) = 2n^2 + n  \) 
ii) \(  \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (6i + 1) = n(3n + 4)  \) 
iii) \(  \displaystyle\sum_{i=0}^{n} 2^i = 2^{n+1} - 1  \) 
iv) \(  \displaystyle\sum_{i=1}^{2n} \dfrac{1}{i(i+1)} = \dfrac{2n}{2n+1}  \)

5) Sea la proposición \(  \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (5 - 4i) = -n(2n - k)  \).

a) Hallar k entero de modo que n = 1 verifique la propiedad. 
b) Demostrar la igualdad para el valor hallado de k. 
c) Calcular \(  \displaystyle\sum_{i=12}^{53} (5 - 4i)  \)

6) Sea la proposición \(  \displaystyle\sum_{i=1}^{2n} (a + bi) = 10n^2 + 13n  \).

a) Hallar a y b de modo que n = 1 y n = 2 verifiquen la propiedad. 
b) Demostrar que la fórmula es verdadera con los valores hallados de a y b. 
c) Resolver la ecuación \( \displaystyle\sum_{i=1}^{2n} (a + bi) = 83n  \) con los valores hallados de a y b.

7) Sea la proposición \( \displaystyle \sum_{i=1}^{3n-2} (2i - 1) = an^2 + 12n - b  \).

a) Hallar a y b sabiendo que n = 0 y n = 1 verifican la propiedad. 
b) Con los valores hallados demostrar la fórmula por inducción completa. 
c) Calcular \(  \displaystyle\sum_{i=39}^{182} (2i - 1)  \) con los valores hallados de a y b.
Mensaje corregido desde la administración.

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Además es preferible que cada ejercicio lo pongas en un hilo separado

[delmar]

Hola Nahfr

Bienvenido al foro

Voy a resolver la 4- iiii) \( \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n}{2^i}=2^{n+1}-1 \)

Observa que la ecuación es válida para todo \( n\in{Z}\wedge n\geq{0} \)

El método consiste en demostrar primero para el valor inicial de n es decir para n=0 y luego demostrar que es válida para n+1 suponiendo es verdadera para n

Se demuestra para n=0

\( \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n}{2^i}=\displaystyle\sum_{i=0}^{i=0}{2^i}=2^0=1 \)

\( 2^{n+1}-1=2^{0+1}-1=2^1-1=2-1=1 \)

Luego para n=0 se tiene \( \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n}{2^i}=2^{n+1}-1 \)

Lqqd

Se demuestra para n+1 suponiendo válido para n

\( \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n+1}{2^i}=\displaystyle\sum_{i=0}^{i=n}{2^i}+2^{n+1} \) por definición de sumatoria

Suponiendo verdadero el teorema para n se tiene :

\( \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n+1}{2^i}=(2^{n+1}-1)+2^{n+1}=(2) \ 2^{n+1}-1=2^{(n+1)+1}-1 \)

Lqqd

A ver si ensayas con los otros ejercicios.

Saludos

[Pie]

Te dejo el primero (veo que se adelantó delmar, pero por suerte no hicimos el mismo )

\[ S_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n{}(4i-1)= 2n^2 + n \]

Desarrollando términos tenemos:

\[ S_n = 3+7+11+\ldots +4n - 1 = 2n^2+n \]

Comprobamos que la igualdad se cumple para \( n = 1 \):

\[ S_1 = 3 = 2(1)^2 + 1 = 3\checkmark \]

Ahora suponiendo que se cumple para algún \( n \), demostramos que se cumple para \( n + 1 \), es decir que:

\[ S_{n+1} = 3 + 7 + 11 + \ldots +4n-1 + 4(n+1) - 1 = 2n^2 + n + 4(n+1) - 1 = \color {blue} 2n^2 + 5n + 3 \]

Tiene que ser igual a:  \( \color{blue} 2(n+1)^2 + n + 1 \)

Desarrollando esta última expresión:

\[ 2(n+1)^2 + n + 1 = 2(n^2+2n+1) + n + 1 = 2n^2+4n+2+n+1=2n^2+5n+3 \checkmark \]

Saludos.

[ani_pascual]

Hola, bienvenido al foro: 

...
¿Quizás alguien puede resolver alguno de estos ejercicios mediante inducción completo para que yo lo analice? No encuentro mucha información al respecto de esto con ejercicios resueltos. Agradezco desde ya.
...

Me parece que en el ejercicio \( 7) \) hay una errata en un signo del índice superior del sumatorio.
En vez de \( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{3n\textcolor{red}{-}2}2i-1=an^2+12n-b \), creo que debería ser
\( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{3n\textcolor{blue}{+}2}2i-1=an^2+12n-b \), ya que usando el convenio \(
\displaystyle\sum\limits_{i=1}^s2i-1=0 \) para \( s<0 \) se llega a que \( a=-11,b=0 \), pero la igualdad \( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{3n-2}2i-1=-11n^2+12n \) no es cierta para todo \( n \); por ejemplo, si \( n=2 \) es \( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{4}2i-1=1+3+5+7=16\,\, \) pero  \( \,\,-11n^2+12n=-11\cdot 2^2+12\cdot 2=-20 \).
Así pues, considerando  \( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{3n+2}2i-1=an^2+12n-b \) resulta que \( n=0\Longrightarrow 1+3=-b\Longrightarrow b=-4 \) y \( n=1\Longrightarrow 1+3+5+7+9=a+12-b\Longrightarrow a=9 \) y la igualdad \( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{3n+2}2i-1=9n^2+12n+4 \) sí es cierta ya que es cierta la propiedad general \( \forall\,k\geq 1, \displaystyle\sum\limits_{i=1}^k2i-1=k^2\,\,\,\,(\ast) \), con lo que \( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{3n+2}2i-1=(3n+2)^2=9n^2+12n+4\\
(\ast)  \) Es cierta si \( k=1 \) pues \( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^12i-1=1=1^2 \) y si la suponemos cierta para \( k \), también lo es para \( k+1 \), ya que \( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{k+1}2i-1=2(k+1)-1+\displaystyle\sum\limits_{i=1}^k2i-1=2k+1+k^2=(k+1)^2 \)
Respecto al último apartado, te lo dejo para ti... Te sugiero que apliques
\( \displaystyle\sum\limits_{i=39}^{182}2i-1=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{182}2i-1-\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{38}2i-1\Longleftrightarrow \displaystyle\sum\limits_{i=39}^{182}2i-1=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{3\cdot 60+2}2i-1-\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{3\cdot 12+2}2i-1 \) y aplicas la fórmula …
Saludos