[Carlos Ivorra]

He escrito este mensaje para ver si sabía insertar un archivo geogebra en un mensaje, que es algo que no había hecho nunca (y ha sido fácil), pero aprovecho para plantear un problema sencillo:


Moviendo el punto P se obtienen distintos paralelogramos con los mismos lados a y b. Si las diagonales miden \( D_1 \) y \( D_2 \), ¿es constante \( D_1+D_2,\ \  D_1\cdot D_2, \ \ D_1^2+D_2^2 \) o ninguno de los tres valores?

[ani_pascual]

Hola:

He escrito este mensaje para ver si sabía insertar un archivo geogebra en un mensaje, que es algo que no había hecho nunca (y ha sido fácil), pero aprovecho para plantear un problema sencillo:
...
Moviendo el punto P se obtienen distintos paralelogramos con los mismos lados a y b. Si las diagonales miden \( D_1 \) y \( D_2 \), ¿es constante \( D_1+D_2,\ \  D_1\cdot D_2, \ \ D_1^2+D_2^2 \) o ninguno de los tres valores?

¡Enhorabuena! A ver si aprendo también...  cuando me ponga a ello ... pues con Geogebra soy novato.

Spoiler

Diría que solo es constante \( D_1^2+D_2^2 \) pues \( D_1^2+D_2^2=a^2+b^2-2ab\cos \alpha +a^2+b^2-2ab\cos (180-\alpha)=2(a^2+b^2) \) siendo \( \alpha  \) y \( (180^{\circ}-\alpha) \)  los ángulos consecutivos del paralelogramo.

[cerrar]

Saludos

[Carlos Ivorra]

 

Te he puesto la respuesta en spoiler, por si alguien la quiere pensar.

[manooooh]

Hola

Te he puesto la respuesta en spoiler, por si alguien la quiere pensar.

Pero no está explicado por qué los otros no son constantes, y a mí me intriga saber por qué

Saludos

[ani_pascual]

 Hola:

Te he puesto la respuesta en spoiler, por si alguien la quiere pensar.

Perfecto, me parece bien. 
Saludos

[Carlos Ivorra]

Pero no está explicado por qué los otros no son constantes, y a mí me intriga saber por qué

Puedes usar las expresiones que ha obtenido ani_pascual para calcular los otros dos valores y verás que dependen de \( \alpha \).

Spoiler

Si te vale un caso concreto, piensa, por ejemplo en un cuadrado de lado 1. Sus diagonales suman \( 2\sqrt 2 \), mientras que si lo aplastas hasta que \( \alpha = 0 \), la suma de las diagonales es \( 2+0 = 2 \).

Las expresiones de ani_pascual muestran que la suma de las diagonales es una función continua \( f(\alpha) \) que toma valores distintos en dos puntos, luego no es constante (toma, de hecho, todos los valores intermedios). Similarmente, el producto en el cuadrado es 2, mientras que en el cuadrado aplastado es 0.

Pero, ya digo, puedes ver que en general nunca son constantes calculando su expresión general.

[cerrar]

[ani_pascual]

Hola:
 

...

Te he puesto la respuesta en spoiler, por si alguien la quiere pensar.

Pero no está explicado por qué los otros no son constantes, y a mí me intriga saber por qué

Saludos

Si \( \alpha=0 \) entonces \( D_1+D_2=b, D_1\cdot D_2=0 \) y si \( \alpha=90^{\circ} \) es \( D_1+D_2=2\sqrt{a^2+b^2}, D_1\cdot D_2=a^2+b^2 \), así que depende del  ángulo \( \alpha \)
Saludos
  PD: Se adelantó Carlos Ivorra