Existe una infinidad de sucesiones de números primos dentro de cada conjunto, pero ninguno en sí mismo es infinito.
Bueno, todo depende de a qué nos refiramos con las palabras. Esa frase, coloquialmente (sin rigor) la podría usar yo para explicar esto:
El factorial de un número “n” es un número compuesto popr el producto de los naturales 1,2,3... hasta “n” (o, mejor dicho, al revés, desde “n” hasta 1, porque si escribimos 1,2,3.. y nos referimos al factorial de 2, entonces el 3 no está ahí, y empezando de “n” hacia abajo no hay ese problema).
Excepto el factorial de 1, todos los factoriales son pares, obviamente, y, así, todo factorial mayor que \( 2! \) es compuesto, no es primo.
De esta forma, para cualquier \( n!>1 \) tenemos que \( n!+2 \) es un para mayor o igual a cuatro y, por tanto, un número no primo.
Del mismo modo, a partir de cualquier factorial mayor que \( 3!=1\cdot2\cdot3 \) todos los factoriales serán múltiplos de 3, y si les sumamos un 3 pues seguirán siendo múltiplos de 3 (no primos, porque ya el 6 es compuesto y es el más pequeño de los múltiplos de 3 pares).
La misma reflexión se puede hacer para los múltiplos de 4, de 5... etc.
Es decir, esto significa que, si, por ejemplo, tenemos este número \( 5!=120 \) y le sumamos 2, es múltiplo de 2; si le sumamos 3, es múltiplos de 3; si le sumamos 4, es múltiplo de 4; y si le sumamos 5, lo es de 5.
Con eso tenemos cuatro números consecutivos no primos:
\( 5!+2 \), \( 5!+3 \), \( 5!+4 \), \( 5!+5 \)
es decir, son 122, 123, 124, 125.
Ahora, podemos elegir un “n” tan grande como queramos; y tendremos
\( n!+2 \), \( n!+3 \)... hasta \( n!+n \)
números consecutivos que son todos no primos (la cantidad de ellos es n-1; en el ejemplo teníamos 5-1=4 números en total).
Por tanto, como “n” puede ser tan grande como se quiera hasta “llegar” (aquí está la trampa, en el”llegar”) a infinito, parece que los primos tendrían que acabarse y su cantidad no ser infinita; sin embargo, se demuestra fácilmente que sí lo es.
¿Qué está ocurriendo ahí? Pues que se trata de infinitos numerables, cuyo concepto consiste en que siempre se puede encontrar otro número (primo o compuesto) de forma que no existe un último.
No hay una barrera donde se acaben los primos y tampoco hay una barrera donde se acaben los compuestos, los números naturales se pueden ordenar de menor a mayor uno detrás de otro porque van intercalados, mezclados; si no, no seria posible, si, por, ejemplo, fueran primero todos los primos y detrás los compuestos, los primos se acabarían.
Y, debido a esto, podemos decir (siempre en un sentido coloquial, no riguroso) que existen conjuntos de números, primos y compuestos también, que son “infinitos” pero que “no son infinitos”, porque al estar intercalados evocan esa frase. Sin embargo, se acaba antes diciendo que son conjuntos de cardinal infinito numerable, donde la frase no supone ninguna contradicción (comprendiendo lo que quiere decir infinito numerable).
(*Es posible que haya dicho algo mal por despiste, no he repasado mucho lo que he escrito, porque tengo que hacerme gafas nuevas y todavía no he ido; y me cuesta leer más de lo ya habitual).
Saludos.
