[petras]

En el paralelogramo \( ABCD  \) tenemos \( (AB < BC \)) y \( BD = 6m \).
Se construye externamente el triángulo equilátero \( AMD \), en cuyo interior se
marca el punto \( F \); tal que el triángulo \( AFB \) es equilátero.
Calcular el tamaño del segmento que une los puntos medios de \( FB \) y \( MD \).

Spoiler

Gabarito: \( 3\sqrt3 m \)

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[Pie]

Una forma:

Spoiler

El triángulo \( \triangle{APQ} \) es semejante a \( \triangle{CDB} \) a razón de \( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \) a \( 1 \), ya que:

\[ \widehat{QAP} = \widehat{MAB} - (30^o + 30^o) = \widehat{DAB} =  \widehat{BCD} \]

Y \[ \displaystyle\frac{AP}{AB} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = \displaystyle\frac{AP}{CD} = \displaystyle\frac{AQ}{AM} =\displaystyle\frac{AQ}{BC} \]

Por tanto: \[ PQ = 6\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \]



PD. Habría sido más directo usando el triángulo \( \triangle{ABD} \), pero entonces el dibujo quedaba más recargado y confuso. 

[cerrar]

Saludos.

[petras]

Una forma:

Spoiler

El triángulo \( \triangle{APQ} \) es semejante a \( \triangle{CDB} \) a razón de \( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \) a \( 1 \), ya que:

\[ \widehat{QAP} = \widehat{MAB} - (30^o + 30^o) = \widehat{DAB} =  \widehat{BCD} \]

Y \[ \displaystyle\frac{AP}{AB} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = \displaystyle\frac{AP}{CD} = \displaystyle\frac{AQ}{AM} =\displaystyle\frac{AQ}{BC} \]

Por tanto: \[ PQ = 6\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \]



PD. Habría sido más directo usando el triángulo \( \triangle{ABD} \), pero entonces el dibujo quedaba más recargado y confuso. 

[cerrar]

Saludos.

Agradecido

Saludos

[petras]

Una forma:

Spoiler

El triángulo \( \triangle{APQ} \) es semejante a \( \triangle{CDB} \) a razón de \( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \) a \( 1 \), ya que:

\[ \widehat{QAP} = \widehat{MAB} - (30^o + 30^o) = \widehat{DAB} =  \widehat{BCD} \]

Y \[ \displaystyle\frac{AP}{AB} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = \displaystyle\frac{AP}{CD} = \displaystyle\frac{AQ}{AM} =\displaystyle\frac{AQ}{BC} \]

Por tanto: \[ PQ = 6\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \]



PD. Habría sido más directo usando el triángulo \( \triangle{ABD} \), pero entonces el dibujo quedaba más recargado y confuso. 

[cerrar]

¿Cómo determinaste que \( \angle ADB = \angle DBC \) o \( \angle BDC = \angle APQ \)?

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
¿Cómo determinaste que \( \angle ADB = \angle DBC \) o \( \angle BDC = \angle APQ \)?
...

Creo que aquí querías preguntar porqué \( \widehat{PQA}=\widehat{DBC} \) o \(  \widehat{BDC}=\widehat{APQ} \).
A ver qué te dice Pie ...
Supongo que es porque ha probado que tienen un ángulo común y los lados adyacentes proporcionales, con lo que los triángulos son semejantes y los otros dos ángulos han de ser iguales.
Saludos

[Pie]

Hola:

...
¿Cómo determinaste que \( \angle ADB = \angle DBC \) o \( \angle BDC = \angle APQ \)?
...

Creo que aquí querías preguntar porqué \( \widehat{PQA}=\widehat{DBC} \) o \(  \widehat{BDC}=\widehat{APQ} \).
A ver qué te dice Pie ...
Supongo que es porque ha probado que tienen un ángulo común y los lados adyacentes proporcionales, con lo que los triángulos son semejantes y los otros dos ángulos han de ser iguales.
Saludos

Sí, justo por eso. Aunque en el dibujo ya aparezca todo a la vez, a priori los únicos ángulos que doy por conocidos son los de \( 30^o \) (a partir de estos se deduce que ambos triángulos comparten un ángulo y luego que los lados adyacentes son proporcionales, y a partir de ahí ya que son semejantes y comparten el resto de ángulos.. )

Saludos.

[petras]

Entendido...agradecido

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Una forma:

Spoiler

El triángulo \( \triangle{APQ} \) es semejante a \( \triangle{CDB} \) a razón de \( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \) a \( 1 \), ya que:

\[ \widehat{QAP} = \widehat{MAB} - (30^o + 30^o) = \widehat{DAB} =  \widehat{BCD} \]

Y \[ \displaystyle\frac{AP}{AB} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = \displaystyle\frac{AP}{CD} = \displaystyle\frac{AQ}{AM} =\displaystyle\frac{AQ}{BC} \]

Por tanto: \[ PQ = 6\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \]



PD. Habría sido más directo usando el triángulo \( \triangle{ABD} \), pero entonces el dibujo quedaba más recargado y confuso. 

[cerrar]

...

Más vale tarde que nunca....
 
Ayer con las prisas se me olvidó incluir la ovación 
La verdad es que en este ejercicio no veía nada...
Saludos