Estimado Rincón:
Longitud de un arcoSean \( A \) y \( B \) dos puntos del plano, y sea \( |AB| \) la distancia entre \( A \) y \( B \), es decir, la longitud del segmento recto \( \overline{AB} \).
Dada una curva \( \mathsf{\varrho} \) que une los dos puntos \( A \) y \( B \), deseamos definir lo que se entiende por
longitud de la curva \( \mathsf{\varrho} \) desde \( A \) hasta \( B \). (...) Una aproximación poligonal a la curva \( \mathsf{\varrho} \), de longitud
\( L_n=|P_0P_1|+|P_1P_2|+\cdots{+|P_{n-1}P_n|}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{|P_{i-1}P_i|} \)
Longitud de arco de la gráfica de una funciónSea \( f \) una función definida en un intervalo cerrado y finito \( [a,b] \), con derivada \( f' \) continua en dicho intervalo. Si \( \mathsf{\varrho} \) es la gráfica de \( f \), es decir, la gráfica de la ecuación \( y=f(x) \), entonces cualquier partición del intervalo \( [a,b] \) permite construir una aproximación poligonal a \( \mathsf{\varrho} \). Para la partición
\( [a=x_0<x_1<x_2\cdots{<x_n=b}] \)
sea \( P_1 \) el punto \( (x_i,f(x_i)) \), \( (0\leq{i}\leq{n}) \). La longitud de la línea poligonal \( P_0\,P_1\,P_2\cdots{P_{n-1}\,P_n} \) es
\( L_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n{|P_{i-1}\,P_i|}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(f(x_i)-f(x_{i-1}))^2}} \)=
\( \qquad{=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\Bigg (\cfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}\Bigg )^2}}}\quad{\Delta{x_i}} \)
siendo \( \Delta{x_i}=x_i-x_{i-1} \). Por el Teorema del Valor Medio, existe un número \( c_i \) en el intervalo \( |x_{i-1},x_i| \) tal que
\( \cfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}=f'(c_i) \)
y, por tanto, tenemos que \( L_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+(f'(c_i))^2}}\,\Delta{x_i} \)
Así, \( L_n \) es una suma de Riemann para la integral \( \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx \). Siendo el límite de esas sumas de Riemann cuando \( n\longrightarrow{\infty} \) tal que \( \text{max}(\Delta{x_i})\longrightarrow{0} \), esa integral corresponde a la longitud de la curva \( \mathsf{\varrho} \)
La longitud de arco \( s \) de la curva \( y=f(x) \) desde \( x=a \) hasta \( x=b \) se expresa como
\( s=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigg (\cfrac{dy}{dx}\bigg )^2}\,dx \)
Cuando se suspende de sus extremos y cuelga bajo el efecto de la gravedad, un cable pesado o una cadena toma la forma de la curva denominada
catenaria
Supongamos que el cable tiene una densidad lineal \( \delta \) (unidades de masa por unidad de longitud).
Entre \( L=(0,y_0) \) y \( P=(x,y) \), hay tres fuerzas que actúan sobre el arco \( LP \) del cable entre \( L \) y \( P \). Todas estas fuerzas se pueden representar utilizando componentes horizontales y verticales.
(i) La tensión horizontal \( \vec{H}=-H\hat{i} \) en \( L \).
(ii) La tensión tangencial \( \vec{T}=T_{h}\hat{i}+T_{v}\hat{j} \).
(iii) El peso \( \vec{W}=-\delta\,g\,s\hat{j} \) del arco \( LP \)
Ahora, \( \vec{T}+\vec{H}+\vec{W}=\vec{0} \)
\( (T_h+H)\hat{i}+(T_v-\delta\,g\,s)\hat{j}=\vec{0} \)
Por tanto, \( T_h=H \) y \( T_v=\delta\,g\,s \). Como \( \vec{T} \) es tangente al cable en \( P \), la pendiente del cable en ese punto es
\( \cfrac{dy}{dx}=\cfrac{T_v}{T_h}=\cfrac{\delta\,g\,s}{H}=a\,s \)
siendo \( a=\delta\,g/H \) una constante del cable dado. Diferenciando con respecto a \( x \) y utilizando que
\( \cfrac{ds}{dx}=\sqrt{1+\bigg (\cfrac{dy}{dx}\bigg)^2} \)
se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden,
\( \cfrac{d^{2}y}{dx^2}=a\cfrac{ds}{dx}=a\sqrt{1+\bigg(\cfrac{dy}{dx}\bigg)^2} \)
que debe resolverse para obtener la ecuación de la curva que representa al cable que la cuelga. Las condiciones apropiadas son \( y=y_0 \) y \( dy/dx=0 \) en \( x=0 \).
Como la ecuación diferencial depende de \( dy/dx \), en vez de \( y \), sustituimos \( m(x)=dy/dx \) para obtener una ecuación de primer orden en \( m \):
\( \cfrac{dm}{dx}=a\sqrt{1+m^2} \)
Esta ecuación es separable; se integra utilizando el cambio \( m=\sinh{u} \):
\( \displaystyle\int\cfrac{1}{\sqrt{1+m^2}}\,dm=\displaystyle\int{a\,dx} \)
\( \displaystyle\int{du}=\displaystyle\int{\cfrac{\cosh{u}}{\sqrt{1+\sinh^2{u}}}}\,du=ax+C_1 \)
\( \sinh^{-1}{m}=u=ax+C_1 \)
\( m=\sinh{(ax+C_1)} \)
Como \( m=dy/dx=0 \) en \( x=0 \), tenemos que \( 0=\sinh{C_1} \), por lo que \( C_1=0 \), y
\( \cfrac{dy}{dx}=m=\sinh{(ax)} \)
Esta ecuación se integra fácilmente para obtener \( y \)
\( y=\cfrac{1}{a}\cosh{(ax)}+C_2 \)
Si se escoge \( y_0=y(0)=1/a \), entonces, sustituyendo \( x=0 \), se tiene \( C_2=0 \). Con esta selección de \( y_0 \), encontramos por tanto que la ecuación de la curva que representa al cable que cuelga es la catenaria
\( y=\cfrac{1}{a}\cosh{(ax)} \)
Dudas1-Por el Teorema del Valor Medio, existe un número \( c_i \) en el intervalo \( |x_{i-1},x_i| \) tal que
\( \cfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}=f'(c_i) \)
y, por tanto, tenemos que \( L_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+(f'(c_i))^2}}\,\Delta{x_i} \)
Así, \( L_n \) es una suma de Riemann para la integral \( \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx \)
Es el paso que da entre el Teorema del Valor Medio y la afirmación de \( L_n \) como una suma de Riemann.
Intento Ha sido echar un rápido vistazo a el Teorema del Valor Medio para integrales; nada que ver.
2- Y estas otras dos:
Esta ecuación es separable; se integra utilizando el cambio \( m=\sinh{u} \):
\( \displaystyle\int\cfrac{1}{\sqrt{1+m^2}}\,dm=\displaystyle\int{a\,dx} \)
\( \displaystyle\int{du}=\displaystyle\int{\cfrac{\cosh{u}}{\sqrt{1+\sinh^2{u}}}}\,du=ax+C_1 \)
\( \sinh^{-1}{m}=u=ax+C_1 \)
\( m=\sinh{(ax+C_1)} \)
Como \( m=dy/dx=0 \) en \( x=0 \), tenemos que \( 0=\sinh{C_1} \), por lo que \( C_1=0 \), y
\( \cfrac{dy}{dx}=m=\sinh{(ax)} \)
No entiendo cómo se aplica el cambio de variable, ni cómo hace desaparecer \( C_1 \)
Intento\( \cfrac{d}{dx}\cosh{(x)}=\sinh{(x)}\Rightarrow{\sinh{(x)}+C=\displaystyle\int{\cosh{(x)}}}\,dx \)
