[Cabudare]

He encontrado la siguiente cota:

\[
 \frac{c}{8} h^2\leq \left| \frac{\Psi(a) + \Psi(b)}{2} - \Psi(m) \right|\leq \frac{L}{2} h.
\]

Quiero demostrar que


\[\left| \frac{\Psi(a) + \Psi(b)}{2} - \Psi(m) \right|\leq -\frac{c}{8} h^2+\frac{L}{2} h\leq \frac{L}{2} h.
\]

No logro hacer las cuentas

[Cabudare]

Quizás no se pueda en general. 

Hasta ahora tengo que \( \Psi \) es Liptchiz y fuertemente convexa modulo \( c \)

[Luis Fuentes]

Hola

He encontrado la siguiente cota:

\[
 \frac{c}{8} h^2\leq \left| \frac{\Psi(a) + \Psi(b)}{2} - \Psi(m) \right|\leq \frac{L}{2} h.
\]

Quiero demostrar que


\[\left| \frac{\Psi(a) + \Psi(b)}{2} - \Psi(m) \right|\leq -\frac{c}{8} h^2+\frac{L}{2} h\leq \frac{L}{2} h.
\]

No logro hacer las cuentas

Es que sin más contexto es imposible deducir de lo primero lo segundo, porque no tiene porqué cumplirse. Lo que tienes es:

\( a\leq |b|\leq c \)

y pretendes deducir que.

\( |b|\leq c-a \)

lo cual no es cierto en general (por ejemplo para cualesquiera \( c=b>0 \) y \( 0<a<b \))

Saludos.

[Masacroso]

He encontrado la siguiente cota:

\[
 \frac{c}{8} h^2\leq \left| \frac{\Psi(a) + \Psi(b)}{2} - \Psi(m) \right|\leq \frac{L}{2} h.
\]

Quiero demostrar que


\[\left| \frac{\Psi(a) + \Psi(b)}{2} - \Psi(m) \right|\leq -\frac{c}{8} h^2+\frac{L}{2} h\leq \frac{L}{2} h.
\]

No logro hacer las cuentas

Como dice Luis, hace falta más contexto, saber lo que es \(L\) y \(h\). Entiendo que \(m\) es lo que definíamos en el otro hilo como el punto medio del intervalo \([a,b]\), y puedo imaginar que \(h=b-a\) es el largo del intervalo, pero me queda por saber qué es \(L\), ¿la constante de Lipschitz quizá? ¿O es \(h\) la constante de Lipschitz y \(L\) otra cosa?

De momento la expresión \(-\frac{c}{8} h^2\) se parece muy sospechosamente a \(-\frac{c}{2}t(1-t)\|x-y\|^2\) que aparece en (3) en la respuesta que dejé aquí. De momento veo que

\[
\begin{align*}
&\Psi \left(\frac{a+b}{2}\right)\leqslant \frac1{2}\Psi (a)+\frac1{2}\Psi (b)-\frac{c}{8}|a-b|^2\tag{*}\\
&\left|\Psi (x)-\Psi \left(\frac{a+b}{2}\right)\right|\leqslant K \frac{|a-b|}2,\,\text{ para }x\in \{a,b\}\tag{**}
\end{align*}
\]

para \(K\) la constante de Lipschitz de \(\Psi \). Quizá combinando estas desigualdades se obtenga lo que buscas, pero vamos, de momento no veo cómo.

[Cabudare]

Tengo lo siguiente como cierto y demostrado:


 Si \(f:[a,b]\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) es una función fuertemente convexa con módulo \(c\) sobre \([a,b]\) entonces

\[\frac{f(a)+f(b)}{2}-\frac{1}{b-a}\int_a^b f(s)ds\geq \frac{c}{6}(b-a)^2\]
\[\frac{1}{b-a}\int_a^b f(s)ds-f\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq \frac{c}{12}(b-a)^2\]



Es decir,

\[\frac{1}{b-a}\int_a^b f(s)ds\leq  \frac{f(a)+f(b)}{2}-\frac{c}{6}(b-a)^2\]
\[f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{c}{12}(b-a)^2\leq  \frac{1}{b-a}\int_a^b f(s)ds\]


Con ese resultado estoy tratando de refinar este siguiente resultado:


Sea \( \Psi: [\rho_1, \rho_2] \to \mathbb{R} \) una función Lipschitziana con constante \( L > 0 \), entonces se cumple la siguiente desigualdad:

\[
\left| \frac{\Psi(\rho_1 + \rho_2 - \delta) + \Psi(\rho_1 + \rho_2 - \gamma)}{2} -  \Psi\left( \rho_1 + \rho_2 - \frac{\delta + \gamma}{2} \right) \right| \leq \frac{L |\gamma - \delta|}{2},
\]

\[
\left| \frac{\Psi(\rho_1 + \rho_2 - \delta) + \Psi(\rho_1 + \rho_2 - \gamma)}{2}-\frac{1}{\gamma-\delta}\int_{\rho_1+\rho_2-\gamma}^{\rho_1+\rho_2-\delta}\Psi(u)du- \right| \leq \frac{L |\gamma - \delta|}{3},
\]

Y

\[
\left| \frac{1}{\gamma-\delta}\int_{\rho_1+\rho_2-\gamma}^{\rho_1+\rho_2-\delta}\Psi(u)du- -  \Psi\left( \rho_1 + \rho_2 - \frac{\delta + \gamma}{2} \right) \right| \leq \frac{L |\gamma - \delta|}{4},
\]


Estoy tratando de agregarle el hecho que si  f es fuertemente convexa (por ende será Lipschitz), y ver si puedo mejorar las cotas de las tres desigualdades.