[Cari]

Cuando trabajamos con una variable aleatoria, por definición, esta es continua si y solo si 

$$ P(X = x) = 0 \quad \text{para todo } x. $$ 

Esto es equivalente a que la función de distribución $$F_X $$ sea continua en los números reales. 

Mi duda surge al considerar un vector aleatorio $$ (X, Y)$$. Si definimos que es continuo siempre que cada una de sus componentes sea una variable aleatoria continua, entonces sabemos que 

$$ P(X = x, Y = y) = 0 \quad \text{para todo } (x, y). $$ 

Sin embargo, esto no garantiza que la función de distribución conjunta $$ F $$ sea continua como función de dos variables. 

Sé que $$ F $$ debe ser continua por la derecha en cada variable, pero ¿es esto lo único que podemos afirmar sobre su continuidad?

[Luis Fuentes]

Hola

 No entiendo del todo la pregunta.

Cuando trabajamos con una variable aleatoria, por definición, esta es continua si y solo si 

$$ P(X = x) = 0 \quad \text{para todo } x. $$ 

Esto es equivalente a que la función de distribución $$F_X $$ sea continua en los números reales. 

Bien.

Mi duda surge al considerar un vector aleatorio $$ (X, Y)$$. Si definimos que es continuo siempre que cada una de sus componentes sea una variable aleatoria continua, entonces sabemos que 

$$ P(X = x, Y = y) = 0 \quad \text{para todo } (x, y). $$ 

Sin embargo, esto no garantiza que la función de distribución conjunta $$ F $$ sea continua como función de dos variables. 

Correcto. Basta coger \( X \) una variable continua e \( Y \) una no continua y considerar el vector aleatorio \( (X,Y) \) con las variables independientes. Entonces \( P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)=0\cdot P(Y=y)=0 \), pero obviamente no es un vector continuo porque no lo es \( Y \)

Sé que $$ F $$ debe ser continua por la derecha en cada variable, pero ¿es esto lo único que podemos afirmar sobre su continuidad?

Aquí es lo que no entiendo. Lo de ser continua por la derecha es algo que cumple cualquier función de distribución, sea o no una v.a continua, ¿pero cuál es la pregunta exactamente?

Saludos.

[Cari]

Muchas gracias por la respuesta.

Lo que me interesa es entender, si es cierto, que a diferencia del caso de una variable : que un vector sea continuo $$(X,Y)$$ (pensando en que cada entrada es una v.a continua) no es equivalente a que la funciòn de distribuciòn conjunta sea continua en $$R^2$$.

Por eso mencionaba que lo que sé respecto a la continuidad de $$F$$ es en cada entrada es continua por la derecha.